Gleichung und Steigung der Tangente an eine Parabel

Tangente an eine quadratische Funktion und Tangentensteigung

Auf dieser Seite wird hergeleitet, wie man ohne Infinitesimalrechnung (ohne Ableitung) die Tangentengleichung und damit die Steigung einer beliebigen quadratischen Funktion in jedem Punkt bestimmen kann.

Sei die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c mit a≠0 gegeben. Die Tangente im Punkt ξ sei t_ξ(x)=mx+n, wobei a, b und c gegeben, m und n jedoch zunächst unbekannt sind.

Der Parameter m gibt die Steigung der Tangente und mithin die Steigung der Parabel im Punkt ξ an.

Parabel und Gerade berühren/schneiden sich im Punkt (ξ|f(ξ)), es gilt daher f(ξ)=t_ξ(ξ).

      a·ξ² + b·ξ + c = m·ξ + n
      a·ξ² + (b-m)·ξ + c - n = 0
  I:  ξ² + (b-m)/a·ξ + (c-n)/a = 0
      ξ_1/2 = -(b-m)/(2a) ± √((b-m)²/(4a²) - (c-n)/a)

Da Tangente und Parabel in jedem Fall nur einen Schnittpunkt haben, darf die quadratische Gleichung nur eine Lösung haben. Somit muß die Wurzel 0 ergeben, damit auch der Radikand:

  II: (b-m)²/(4a²) - (c-n)/a = 0

Wir haben somit zwei Gleichungen, die ein Gleichungssystem ergeben, mit dem man eindeutige Lösungen für die Parameter m und n der Tangentengleichung finden kann:

	b - m c - n ξ² + —————— ξ + ————— = 0 a a
	(b-m)² c - n —————— - ————— = 0 4a² a

   I+II:
               b - m       (b-m)²          
        ξ²  +  ————— ξ  +  ——————  = 0    |  Faktorisieren nach der 1. binomischen Formel
                 a           4a²           

              b - m   ₂
        ( ξ + —————— )  = 0               | √
                2a 

            b - m
        ξ + ——————  = 0                   |  · 2a
              2a

        2a·ξ + b - m = 0                  |  + m

        2a·ξ + b = m


  Einsetzen der linken Seite in I' für m:

      n = a·ξ² + b·ξ + c - m·ξ

      n = a·ξ² + b·ξ + c - (2a·ξ + b)·ξ

      n = a·ξ² + b·ξ + c - 2a·ξ² - b·ξ

      n = c - a·ξ²

Somit ergibt sich für die Tangente an die Parabel y = ax² + bx + c an der Stelle ξ die Gleichung y = mx + n mit m = 2a·ξ + b und n = c - a·ξ²

Beispiel:
gegeben: f(x) = -3x² + 2x + 1, gesucht: Tangente und Steigung bei x=5
m = 2a·x + b = 2·(-3)·5 + 2 = -28
n = c - a·x² = 1 - (-3)·5² = 76
Tangente: y = -28x + 76 Steigung: -28

Damit weiß man für jeden Punkt der quadratischen Funktion die Steigung: Sie ist identisch mit der Steigung der Tangente und wird somit für jeden Punkt x durch 2ax + b gegeben.

Die Funktion t(x) = 2ax + b, die für jeden Punkt x die Steigung der Funktion f(x) = ax² + bx + c angibt, nennt man auch Ableitung von f und bezeichnet sie mit f'(x).

Bemerkenswert ist übrigens, daß der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse (seine y-Koordinate wird durch n gegeben) nicht vom Parameter b der Parabel abhängt. Weniger überraschend ist, daß die Steigung m nicht von c abhängt, denn c verschiebt die Parabel ja nur nach oben oder unten.