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Lösungen zur 2. Arbeit

10. Klasse, B-Kurs, Schuljahr 2002/3, 7.11.2002

Nr.1   •   Nr. 2   •   Nr. 3   •   Nr. 4   •   Anhang: Wurzelsatz von Vieta

1. Aufgabe

Gruppe A:

 
Bestimme die vier charakteristischen Punkte dieser Parabel und zeichne sie: f(x) = x² + 2x – 8
 

  1. Nullstellen bestimmen:
    Bei Nullstellen ist f(x)=0. Setze daher die Funktionsgleichung gleich Null: x² + 2x – 8 = 0,
    lies p und q ab (p = 2 und q = -8) und löse mit der p-q-Formel:
    x1;2 = -p/2 ± Ö((p/2)2 - q) = -1 ± Ö9
    xN1 = -4   xN2 = 2
    Nullstellen: (-4|0) und (2|0)
     
  2. Scheitelpunkt: Lies in p-q-Formel xS (= -p/2) ab: xS = -1
    Berechne yS, den y-Wert des Scheitelpunktes, durch Einsetzen von xS in die Funktionsgleichung: f(xS) = f(-1) = 1 - 2 - 8 = -9
    Scheitelpunkt: (-1|-9)
     
  3. Lies die y-Koordinate des Schnittpunkts mit der y-Achse im Funktionsterm ab: y = c = -8
    Schnittpunkt mit y-Achse: (0|-8)

Trage die vier Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein
und zeichne eine Parabel durch sie.

     
 
 
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Gruppe B:

 
Bestimme die vier charakteristischen Punkte dieser Parabel und zeichne sie: f(x) = x² – 2x – 3
 

  1. Nullstellen bestimmen:
    Bei Nullstellen ist f(x)=0. Setze daher die Funktionsgleichung gleich Null: x² – 2x – 3 = 0,
    lies p und q ab (p = -2 und q = -3) und löse mit der p-q-Formel:
    x1;2 = -p/2 ± Ö((p/2)2 - q) = 1 ± Ö4
    xN1 = -1   xN2 = 3
    Nullstellen: (-1|0) und (3|0)
     
  2. Scheitelpunkt: Lies in p-q-Formel xS (= -p/2) ab: xS = 1
    Berechne yS, den y-Wert des Scheitelpunktes, durch Einsetzen von xS in die Funktionsgleichung: f(xS) = f(1) = 1 - 2 - 3 = -4
    Scheitelpunkt: (-1|-4)
     
  3. Lies die y-Koordinate des Schnittpunkts mit der y-Achse im Funktionsterm ab: y = c = -3
    Schnittpunkt mit y-Achse: (0|-3)

Trage die vier Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein
und zeichne eine Parabel durch sie.

     
 
 
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Aufgabe 2

Gruppe A

  1. Gib eine Gleichung an, die die Lösungen x1=–5 und x2=–2 besitzt ("Satz von ...").
  2. Leite die Funktionsgleichung einer Parabel mit Nullstellen bei xN1=–2 und xN2=–5 her.

Der Satz von Vieta stellt den Zusammenhang zwischen den Parametern p und q und den Lösungen x1 und x2 der entsprechenden quadratischen Gleichung her. (Siehe Anhang.)
Es gilt: x1 + x2 = -p und x1 · x2 = q

Damit ist es leicht, p und q der geforderte Gleichung zu berechnen und die Gleichung in Normalform hinzuschreiben:

p = -(-5 + (-2)) = -(-7) = 7
q = (-5)·(-2) = 10
x2 + 7x + 10 = 0 hat die Lösungen x1 = –5 und x2 = –2

Mit dieser Gleichung berechnet man die Nullstellen der Funktion f(x) = x2 + 7x + 10. Da die Nullstellen der gesuchten Funktion bei den Lösungen dieser Gleichung liegen sollen, ist f(x) = x2 + 7x + 10 die gesuchte Funktion.

Gruppe B

  1. Gib eine Gleichung an, die die Lösungen x1=–5 und x2=–3 besitzt ("Satz von ...").
  2. Leite die Funktionsgleichung einer Parabel mit Nullstellen bei xN1=–3 und xN2=–5 her.

Der Satz von Vieta stellt den Zusammenhang zwischen den Parametern p und q und den Lösungen x1 und x2 der entsprechenden quadratischen Gleichung her. (Siehe Anhang.)
Es gilt: x1 + x2 = -p und x1 · x2 = q

Damit ist es leicht, p und q der geforderte Gleichung zu berechnen und die Gleichung in Normalform hinzuschreiben:

p = -(-5 + (-3)) = -(-8) = 8
q = (-5)·(-3) = 15
x2 + 8x + 15 = 0 hat die Lösungen x1 = –5 und x2 = –3

Mit dieser Gleichung berechnet man die Nullstellen der Funktion f(x) = x2 + 7x + 10. Da die Nullstellen der gesuchten Funktion bei den Lösungen dieser Gleichung liegen sollen, ist f(x) = x2 + 7x + 10 die gesuchte Funktion.
Aufgabe 3

Eine Veranstaltungsagentur beschäftigt einen Mathematiker, der einen Zusammenhang zwischen den Werbeausgaben x und den zu erwartenden Einnahmen f(x) bei Veranstaltungen einer bestimmten Kategorie ermittelte:
 
f(x)= –0,002x² + 6,6x + 3000 (Gruppe A)
 
f(x)= -0,002x² + 6,2x + 2500 (Gruppe B)

  1. Berechne, bei welchen Ausgaben für Werbung mit maximalen Einnahmen zu rechnen ist.
  2. Wie hoch werden die Einnahmen ohne Werbung sein?
  3. Ab welchen Werbekosten ist kein Gewinn mehr zu erwarten?

Der Graph dieser quadratische Funktion(en) ist nach unten geöffnet, da a=-0,002 negativ ist; daher hat sie in ihrem Scheitelpunkt die höchste Stelle, und f(x) nimmt dort den maximalen Wert an. Es muß also der Scheitelpunkt der Funktion(en) ermittelt werden.

Dazu wird zunächst gleich Null gesetzt und durch Multiplikation mit -500 (=Division durch -0,002) in Normalform gebracht:

–0,002x² + 6,6x + 3000 = 0      -0,002x² + 6,2x + 2500 = 0
x² - 3300x - 1500000 = 0 x² - 3100x + 1250000 = 0

 
Nun wird p abgelesen. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei -p/2.
 

p = -3300p = -3100
xS = -(-3300/2) = 1650 xS = -(-3100/2) = 1550

Maximale Einnahmen sind bei Werbeausgaben in Höhe von 1650 € (Gruppe A) bzw. 1550 € (Gruppe B) zu erwarten.


Die Einnahmen ohne Werbung berechnen sich natürlich, indem man f(x) für x=0 ausrechnet:
f(0) = –0,002·0² + 6,6·0 + 3000 = 3000      f(0) = -0,002·0² + 6,2·0 + 2500 = 2500

Ohne Ausgaben für Werbung kann mit 3000 € (Gruppe A) bzw. 2500 € (Gruppe B) Einnahmen gerechnet werden.


Nach dem Scheitelpunkt fällt der Graph der Parabel und damit der zu erwartende Gewinn. Bei der rechten Nullstelle ist er 0, danach negativ (=Verlust). Bei Werbeausgaben größer als xN2 ist also mit keinem Gewinn mehr zu rechnen. Gesucht ist also die größere Nullstelle xN2:
–0,002x² + 6,6x + 3000 = 0      -0,002x² + 6,2x + 2500 = 0
x² - 3300x - 1500000 = 0 x² - 3100x + 1250000 = 0
xN2 = 1650 + Ö(16502 + 1500000) = 3704,87225880345... xN2 = 1550 + Ö(15502 + 1250000) = 3461,15148536164...

Ab 3704,87 Euro bzw. 3461,15 Euro Werbeausgaben ist mit keinem Gewinn mehr zu rechnen.

Hier noch zur Veranschaulichung die Graphen der beiden Funktionen. (Das Zeichnen gehörte nicht zur Aufgabe)


 
 
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Aufgabe 4
f(x) = x³ – 4x² – 11x + 30         f(x)= x³ – 6x² – x + 30

 
 
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a) Lies die Nullstellen, den Schnittpunkt mit der y-Achse und die Hoch- und Tiefpunkte ("Scheitelpunkte") ab.
b) Gilt auch hier die Regel, daß die x-Koordinaten der "Scheitelpunkte" Mittelwerte der Nullstellen sind?
c) Gibt es auch bei dieser Art von Gleichung (mit x³) möglicherweise einen "Satz von Vieta", also einen Zusammenhang zwischen den Lösungen der Gleichung x³ – 4x² – 11x + 30 = 0 (Gruppe A) bzw. x³ – 6x² – x + 30 = 0 (Gruppe B) und den Parametern dieser Gleichung?
d) Gibt es auch hier einen Zusammenhang zwischen dem Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse und der Funktionsgleichung?

Das Ablesen der Punkte ergibt:
 Gruppe A     Gruppe B
Nullstellen:(-3|0), (2|0) und (5|0) (-2|0), (3|0) und (5|0)
Schnittpunkt mit y-Achse:  (0| ca. 30) (0|30)
"Scheitelpunkte":  (-1| ca. 36) und
(ca. 3,7|ca. -15)		 (ca. -0,1|30) und
(ca. 4,1| -6)
 
Die tatsächlichen Werte liegen hier:
Durch Mausklick mit gedrückter Umschalttaste kann man in den Graphen hineinzoomen, um die Lage der Punkte genauer abzulesen
 
Nullstellen:(-3|0), (2|0) und (5|0) (-2|0), (3|0) und (5|0)
Schnittpunkt mit y-Achse:  (0|30) (0|30)
"Scheitelpunkte":  (-1|36) und
(3,666666...|-14,8148148...)		 (-0,081666...|30,04110532...) und
( 4,081666...|-6,0411053...)

Offensichtlich gilt hier eine analoge Regel zu xS = (xN1+xN2)/2 nicht, denn die Mittelwerte der Nullstellen liegen jeweils weiter "innen" als die x-Koordinaten der Scheitelpunkte.

Die in Aufgabe c) angegebene Gleichung ist diejenige Gleichung, mit der man die Nullstellen von f(x) bestimmt. Deren Lösungen sind also die abgelesenen Nullstellen!
Bei quadratischen Gleichungen werden die Lösungen addiert und multipliziert und ergeben so direkt -p und q.
Es liegt sehr nahe, dies auch hier zu versuchen, was auch sofort zu einem Aha-Effekt führt:

Gruppe A:
x1 + x2 + x3 = -3 + 2 + 5 = 4
x1 · x2 · x3 = -3 · 2 · 5 = -30

Gruppe B:
x1 + x2 + x3 = -2 + 3 + 5 = 6
x1 · x2 · x3 = -2 · 3 · 5 = -30

Es ergibt sich in beiden Gruppen bei der Summe der Lösungen der Parameter vor dem x² und beim Produkt der lineare Summand (Zahl ohne x), jeweils mit vertauschtem Vorzeichen (auch beim Produkt!). Und tatsächlich gilt der "Wurzelsatz" von Vieta ganz allgemein für alle Polynome. Siehe unten im Anhang.

Übrigens: Der Parameter vor x errechnet sich aus x1·x2 + x1·x3 + x2·x3.

Der lineare Summand (d.h. die Zahl ohne x) im Funktionsterm gibt offenbar auch hier den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse an. Dies ist auch logisch, denn beim Einsetzen von x=0 in den Term fallen alle anderen Summanden weg.

Anhang - Wurzelsatz von Vieta

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist.

Der Term (x-a)·(x-b) wird daher genau dann 0, wenn die erste oder die zweite Klammer Null sind (oder beide). Das trifft zu, wenn x=a oder x=b.

Damit hat die Gleichung (x-a)·(x-b) = 0 die beiden Lösungen x1=a und x2=b, und man kann die Gleichung auch so schreiben: (x-x1)·(x-x2) = 0. Hier ist x die Variable, und x1 bzw. x2 sind die Zahlen, für die die Gleichung "stimmt", falls x diese Werte annimmt; es sind also die Lösungen der Gleichung.

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen dieser Gleichung ergibt den für quadratische Gleichungen bekannten Satz von Vieta:

(x - x1)·(x - x2) = 0
x² - x1·x - x2·x + x1·x2 = 0
x² - (x1+x2)·x + x1·x2 = 0

Hier ist -(x1+x2) der Parameter p und x1·x2 der Parameter q in der Normalform x² + px + q = 0.

Dasselbe Verfahren ist natürlich auch bei Gleichungen höheren Grades möglich:
(x - x1)·(x - x2)·(x - x3) = 0 führt z.B. auf eine Gleichung 3. Grades:

(x - x1)·(x - x2)·(x - x3) = 0
(x² - x1·x - x2·x + x1·x2)·(x - x3) = 0
x³ - x1·x² - x2·x² + x1·x2·x - x3·x² + x1·x3·x + x2·x3·x - x1·x2x3 = 0
x³ - (x1+x2+x3)·x² + (x1·x2+x1·x3+x2·x3)·x - x1·x2·x3 = 0

Gleichung 4. Grades:
(x - x1)·(x - x2)·(x - x3)·(x - x4) = 0 führt auf
x4 - (x1+x2+x3+x4)·x3 + (x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)·x2 - (x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)·x + x1x2x3x4 = 0

Beachte die alternierenden Vorzeichen. Die Parameter bestehen jeweils aus der Summe aller möglichen Produkte mit 1, 2, 3, ... bis g Faktoren (aus Elementen der Lösungsmenge), wobei g der Grad des Polynoms ist.

© Arndt Brünner, 9. 11. 2002
Version: 9. 11. 2002
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