Vereinfachen von Termen

Terme sind Rechenausdrücke, die u.a. aus Zahlen, Variablen (also Buchstaben, die für unbekannte Zahlen einer bestimmten "Art" stehen) und Rechenzeichen bestehen. Eine Gleichung ist kein Term, sondern eine Aussage darüber, daß zwei Terme wertgleich sind. Ein Term enthält also kein Gleichheitszeichen!

Wenn ein Term nur aus Zahlen besteht, so kann man ihn einfach ausrechnen. Dabei muß man die gewohnten Regeln beachten:
* Eingeklammertes geht vor
* Potenzen- vor Punktrechnung
* Punkt- vor Strichrechnung
* von links nach rechts ausrechnen

Beispiel:

       3 · (4 - 3,5)² - ((5 + 4) - 3 · 11)
     = 3 ·    0,5²    - (   9    -   33  )
     = 3 ·    0,25    -        (-24)
     =   0,75         +         24
     =   24,75

Wer das Rechnen mit Buchstaben überhaupt nicht versteht, sollte sich einmal überlegen, daß ja auch unsere Zahlenzeichen, wie z.B. die 1, auch nur Symbole sind. Daß man für 1 + 1 + 1 + 1 + 1 auch 5·1 (oder gleich 5) schreiben kann, wird wahrscheinlich keine Maus hinter dem Ofen hervorlocken. Das Rechnen mit anderen Symbolen ist auch nicht komplizierter, sondern eher einfacher, weil man weniger rechnen muß. Man faßt einfach gleichartige Symbole zusammen, indem man sie "zählt".

Zusammenfassen gleichartiger Glieder

Die fünf (einander gleichen) Herzen ♥ + ♥ + ♥ + ♥ + ♥ sind zusammen soviel wie fünfmal ein solches Herz, also 5·♥ oder auch einfach 5♥.
Für die Summe ♣ + ♦ + ♠ + ♠ + ♠ + ♥ + ♦ + ♣ + ♦ + ♥ + ♣ + ♠ kann man kurz 3·♣ + 4·♠ + 2·♥ + 3·♦ schreiben oder (auch hier ohne Malpunkte): 3♣ + 4♠ + 2♥ + 3♦.

Mit Buchstaben funktioniert es genauso wie mit den Kartensymbolen: Man faßt die gleichen Buchstaben zusammen und nimmt sozusagen nur einen Buchstaben jeder Art mal mit der insgesamt vorhandenen Anzahl. Zur Erinnerung: Summanden einer Summe darf man umordnen (Kommutativgesetz). Daher ist z.B. a + c + b + a + b + a dasselbe wie a + a + a + b + b + c oder 3a + 2b + c. Wenn nur ein Buchstabe einer bestimmten "Sorte" enthalten ist, läßt man übrigens die 1 weg, wie im letzten Beispiel beim c.

Natürlich kann durch Subtraktionen die Anzahl auch verringert werden: a + a + a - a entspricht 3a - a, also "drei a minus ein a", und das ergibt natürlich "zwei a", also: a + a + a - a = 2a.

Beispiele

      x + x + x         =  3x
      x + x - x + x     =  2x
      a + 2a + 3b + 2b  =  3a + 5b
      x + y + x         =  2x + y
      3a + 4a           =  7a
      4g - g            =  3g
      h - 7h            =  -6h
      3m + 1 - 5m       =  1 - 2m
      a - b + a         =  2a - b
      2x + 4 - x + 5    =  x + 9
      10x - 2,1x        =  7,9x
      3a + 6b           =  3a + 6b
      a + 2b + c - a    =  2b + c
      2e - 4f - 3e + 4f =  -e

Nicht immer kann man alles vereinfachen. Im drittletzten Beispiel kann man beispielsweise überhaupt nichts machen, da a und b jeweils nur in einem Summanden auftauchen und die beiden nicht miteinander "verrechnet" werden können. (Auch die Faktoren 3 und 6 nicht, weil sie nur die jeweiligen Anzahlen der a und der b anzeigen!!!) Im vorletzten Beispiel blieben aus dem selben Grund die 2b und das c einfach stehen.

Bleiben von einer Variablen Null übrig, wie im vorletzten Beispiel vom a oder im letzten Beispiel vom f, so schreibt man nicht etwa 0a oder 0f, sondern läßt die Variable einfach ganz weg.

Anstelle von -1e schreibt man nur -e.

Einzelne Zahlen, wie im achten und im zehnten Beispiel, faßt man ebenfalls nach Möglichkeit zusammen und rechnet sie selbstverständlich gleich aus (siehe zehntes Beispiel: 4+5=9).
Einzelstehende Zahlen und Variablen aus andern Summanden dürfen nicht "verrechnet" werden.

Multiplikationen

Der Ausdruck 3a bedeutet ausgeschrieben a+a+a, wie wir soeben gesehen haben, nicht etwa a·a·a. Dafür gibt es eine andere abkürzende Schreibweise, nämlich die oben rechts am Buchstaben vermerkte Anzahl gleicher Faktoren in einem Produkt: a·a·a = a³. Die hochgestellte 3 nennt man auch Hochzahl oder Exponent. a³ liest man "a hoch drei". Zu a² sagt man außer "a hoch zwei" auch "a zum Quadrat" oder vereinfacht "a Quadrat".

Handelt es sich nur um ein Produkt, so kann man analog zur Addition die Variablen durch Exponenten zusammenfassen:

       a·a·a·a       =  a⁴
       a·a·b·b·b     =  a²·b³
       x·y·y·x·y·z   =  x²·y³·z

Im letzten Beispiel stehen die Variablen "durcheinander". Man darf sie dennoch zusammenfassen, denn es gilt ja das Kommutativgesetz, d.h. man darf die Faktoren zunächst umsortieren. Mit diesem Zwischenschritt hieße das letzte Beispiel

       x·y·y·x·y·z   =  x·x·y·y·y·z  =  x²·y³·z

Sind im Produkt Zahlen enthalten, so werden diese herausgezogen, berechnet und nach vorne geschrieben. (Auch bei dieser "Art von Multiplikation" gilt das Kommutativgesetz, d.h. die Faktoren dürfen umsortiert werden, auch wenn Zahlen und Variablen gemischt vorkommen.)

       4a·5a          =  4·5·a·a = 20a²
       x³·x²          =  x·x·x · x·x = x⁵
       x³·4y·x·5z²·7  =  4·5·7·x³·x·y·z² = 140x⁴·y·z²

Man läßt in solchen Produkten meist die Malpunkte weg, d.h. statt 140x⁴·y·z² schreibt man 140x⁴yz².

Vorsicht: Eine sehr "beliebte" Fehlerquelle ist das Verwechsel von Faktor und Exponent. Präge Dir den Unterschied sehr gut ein! Die Zahl vor dem Buchstaben ist eine Anzahl und bedeutet eigentlich, daß die Variable sooft addiert wird. Die Hochzahl (Exponent) gibt im Gegensatz dazu an, wie oft die Variable multipliziert wird.

In aller Regel ist x⁷ nicht dasselbe wie 7x, denn 7x=x+x+x+x+x+x+x, aber x⁷ = x·x·x·x·x·x·x. Du brauchst Dir nur für x irgendeine Zahl zu denken und es mit ihr auszurechenn, um den Unterschied zu sehen. Nimm für x beispielsweise die Zahl 2, dann sind 7x nämlich 14, und x⁷ = 2⁷ = 2·2·2·2·2·2·2 = 128.

x·x·x ist nicht gleich 3x (auch wenn es drei x sind). Gewöhne dir an, in diesem Fall nicht von "drei x", sondern von "x mal x mal x" oder besser von "x hoch drei" zu reden und zu denken!

Überhaupt kann man seine Vereinfachungen überprüfen, indem man für alle gleichen Variablen gleiche Zahlen einsetzt und sowohl den gegebenen Term als auch den vereinfachten Term ausrechnet. Stimmen beide Ergebnisse überein, so dürfte die Vereinfachung in den meisten Fällen stimmen (obwohl ein Beispiel kein Beweis ist!!!!), stimmen sie jedoch nicht überein, so war die Vereinfachung sicher falsch.

Produkte aus verschiedenen Variablen können nicht weiter vereinfacht werden. Statt i·q kann man allenfalls iq, qi oder q·i schreiben.

Zusammenfassen gemischter Summanden

In Ausdrücken, wie xy + 3x²y - 2xy + 7xy² + 3xz, die in ihren Summanden unterschiedliche "Kombinationen" (besser Produkte) von Variablen und Exponenten haben, dürfen nur diejenigen zusammengefaßt werden, die in allen Variablen und zugehörigen Exponenten genau übereinstimmen.

        xy + 3x²y - 5xy + 7xy² + 3xz      =  -4xy + 3x²y + 7xy² + 3xz
        ab + bc + ac + abc                =  ab + bc + ac + abc  (keine Vereinfachung möglich!)
        a²x + 2a³x² - ax + 2ax + 7a²x     =  8a²x + 2a³x² + ax

Klammern

Klammern mit Variablen werden prinzipiell so aufgelöst wie Klammern, die nur reine Zahlen enthalten. Der wesentliche Unterschied besteht darin, daß man den Klammerinhalt meist nicht wirklich "ausrechnen" kann, aber man fängt auch hier mit den Vereinfachungen in der innersten Klammer an.

Zahl oder Variable oder Produkt mal Klammer
Jeder Summand in der Klammer wird mit der Zahl (oder der Variable / dem Produkt) vor (hinter) der Klammer multipliziert (Distributivgesetz). Vorzeichenregeln beachten!

            4·(a + 5b - 2c²)        =  4a + 20b - 8c²
            x·(a + 5b - 2c²)        =  ax + 5bx - 2c²x            (alphabetische Sortierung!)
            -3a·(a + 5b - 2c²)      =  -3a² - 15ab + 6ac²
            (x + 3y - z²)·2         =  2x + 6y - 2z²
            (x + 3y - z²)·2yz       =  2xyz + 6y²z - 2yz³

Plusklammer
Die Klammern können einfach weggelassen werden, wenn direkt vor der Klammer ein Plus steht (ohne Zahl!):

            3 + (a + 5b - 2c²)      =  3 + a + 5b - 2c²
            3a + (a + 5b - 2c²)     =  3a + a + 5b - 2c²   = 4a + 5b - 2c²

Minusklammer
Alle Vorzeichen in der Klammer werden umgedreht, die Klammer und das Minus vor der Klammer entfallen dadurch:

            3 - (a + 5b - 2c²)      =  3 - a - 5b + 2c²
            2b - (a + 5b - 2c²)     =  2b - a - 5b + 2c²   =  -a - 3b + 2c²
            4a - (-a + 5a² - 7c³)   =  4a + a - 5a² + 7c³  =  5a - 5a² + 7c³      
                                                (Vorsicht: 5a und -5a² heben sich wegen der
                                                 unterschiedlichen Exponenten nicht auf!)

Klammer mal Klammer
Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert (als Summanden gelten auch solche mit negativem Vorzeichen). Achtung: Vorzeichenregeln beachten!

           (3a + 4)·(x - 7y)          =  3ax - 21ay + 4x - 28y
           (2a - 3b + c²)·(5x³ - 7y)  =  10ax³ - 14ay - 15bx³ + 21by + 5c²x³ - 7c²y
           (2a - b)·(3a + 5b)         =  6a² + 10ab - 3ab - 5b²   = 6a² + 7ab - 5b²
           (4x - 5y)·(5y + 4x)        =  20xy + 16x² - 25y² - 20xy   = 16x² - 25y²

Bei drei Klammern vereinigt man erst ein Paar, das man allerdings dabei in Klammern läßt, und multipliziert dann mit der dritten Klammer aus.

           (x + 2)·(3a - b)·(2a - x) 
         = (3ax - bx + 6a - 2b)·(2a - x)
         = 6a²x - 3ax² - 2abx + bx² + 12a² - 6ax - 4ab + 2bx

Ein Exponent an einer Klammer bedeutet dasselbe wie bei Zahlen: Die Klammer muß sooft mal sich selbst genommen werden, wie der Exponent anzeigt.

           (x - y)²    =  (x - y)·(x - y)  = x² - xy - xy + y² = x² - 2xy + y²
           (2a + 3b)²  =  (2a + 3b)·(2a + 3b)  = 4a² + 6ab + 6ab + 9b² = 4a² + 12ab + 9b²
           (5x - 8y)²  =  (5x - 8y)·(5x - 8y)  = 25x² - 40xy - 40xy + 64y² = 25x² - 80xy + 64y²
                      (Solche Ausdrücke kann man mit den binomischen Formeln direkt auflösen)
           (a - b)³    =  (a - b)·(a - b)·(a - b) 
                       =  (a² - ab - ab + b²)·(a - b)
                       =  (a² - 2ab + b²)·(a - b)
                       =  a³ - a²b - 2a²b + 2ab² + ab² - b³
                       =  a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Weitere Beispiele

       3x² - 3x - 4x·(3 - x) = 3x² - 3x - 12x + 4x² = 7x² - 15x

       -a·(2a + 3b)² - (a - b)³ = -a·(4a² + 12ab + 9b²) - (a³ - 3a²b + 3ab² - b³)
                                = -4a³ - 12a²b - 9ab² - a³ + 3a²b - 3ab² + b³
                                = -5a³ - 9a²b - 12ab² + b³


       3·(x - y)² - ((5 + y²) - x² · 11)             (vergleiche allererstes Beispiel)
            Ausrechnen nicht möglich. Daher zunächst Auflösen der Quadratklammer (siehe oben):
     = 3·(x² - 2xy + y²) - ((5 + y²) - 11x²)
            Auflösen der ersten Klammer (Ausmultiplizieren):
     = 3x² - 6xy + 3y² - ((5 + y²) - 11x²)
            "Auflösen" der inneren Klammer (Weglassen, da Plusklammer):
     = 3x² - 6xy + 3y² - (5 + y² - 11x²)
            Auflösen der Minusklammer:
     = 3x² - 6xy + 3y² - 5 - y² + 11x²
            Zusammenfassen gleichartiger Summanden:
     = 14x² - 6xy + 2y² - 5

      
       3x - (-5xyx² + 23x)·(4y² - 1)         |  Klammern ausmultiplizieren
     = 3x - (-20x³y³ + 5x³y + 92xy² - 23x)   |  Minusklammer auflösen
     = 3x + 20x³y³ - 5x³y - 92xy² + 23x      |  Zusammenfassen
     = 20x³y³ - 5x³y - 92xy² + 26x


       1 - (2 + 3(x - (4 - (5x - 6))))    (Zwischen Zahl und Klammer darf der Malpunkt entfallen)
     = 1 - (2 + 3(x - (4 - 5x + 6)))
     = 1 - (2 + 3(x - (10 - 5x)))
     = 1 - (2 + 3(x - 10 + 5x))
     = 1 - (2 + 3(6x - 10))
     = 1 - (2 + 18x - 30)
     = 1 - (-28 + 18x)
     = 1 + 28 - 18x
     = 29 - 18x


       (x - 3y)(1 - 2x) - x - 3x(x - y)     (auch zwischen zwei Klammern kann · wegfallen)
     = x - 2x² - 3y + 6xy - x - 3x² + 3xy
     = -5x² + 9xy - 3y


       (x - y)⁴
     = (x - y)²·(x - y)²
     = (x² - 2xy + y²)·(x² - 2xy + y²)             (siehe oben)
     = x⁴ - 2x³y + x²y² - 2x³y + 4x²y² - 2xy³ + x²y² - 2xy³ + y⁴
     = x⁴ - 4x³y + 6x²y² - 4xy³ + y⁴