Lösungen zur 4. Arbeit

Lösungen zur 4. Arbeit vom 8. Februar 2002

Nr. 1 | Nr. 2 | Nr. 3 | Nr. 4 | Nr. 5 | Nr. 6 | Ergebnisse!

1. Aufgabe

Gib p und q dieser Gleichungen an und überprüfe mit dem Satz von Vieta, ob die angegebenen Lösungsmengen zutreffen!

Gruppe A:

a)		x² + 5,5x - 7 = 0		L = { -2 ; 3,5 }
b)		x² + x = 20		L = { -5 ; 4 }

Gruppe B:

a)		x² + 5,5x + 7 = 0		L = { 2,5 ; 3 }
b)		x² - x = 20		L = { 5 ; -4 }

Lösung

Die erste Gleichung ist jeweils in der Normalform gegeben, die zweite muß zunächst in diese umgeformt werden.

Gruppe A

a)
 q = x₁ · x₁ = -2 · 3,5 = -7
-p = x₁ + x₁ = -2 + 3,5 = 1,5
 p = -1,5
 Normalform der Gleichung, die die angegebenen Lösungen hat: x² - 1,5x - 7 = 0
 Die angegebene Gleichung hat somit nicht diese Lösungsmenge.

b)
 q = -5 · 4 = -20
-p = -5 + 4 = -1
 p = 1
 Normalform der Gleichung, die die angegebene Lösungsmenge hat: x² + x - 20 = 0
 Die angegebene Gleichung ist dazu äquivalent, hat also die gegebene Lösungsmenge.

Gruppe B

a)
 q = x₁ · x₁ = 2,5 · 3 = 7,5
-p = x₁ + x₁ = 2,5 + 3 = 5,5
 p = -5,5
 Normalform der Gleichung, die die angegebenen Lösungen hat: x² - 5,5x + 7,5 = 0
 Die angegebene Gleichung hat somit nicht diese Lösungsmenge.

b)
 q = 5 · (-4) = -20
-p = 5 + (-4) = 1
 p = -1
 Normalform der Gleichung, die die angegebene Lösungsmenge hat: x² - x - 20 = 0
 Die angegebene Gleichung ist dazu äquivalent, hat also die gegebene Lösungsmenge.

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Aufgabe 2

Gib quadratische Gleichungen mit den angegebenen Lösungsmengen an

Gruppe A

a) L = { 3 ; 6 } b) L = { 0 ; 17 } c) L = { -5 }

Satz von Vieta anwenden:
p = -( x₁ + x₂ )
q = x₁ · x₂
a)  p = -9        q = 18           x² - 9x + 18 = 0
b)  p = -17       q = 0            x² - 17x = 0
c)  p = 10        q = 25           x² + 10x + 25 = 0

Gruppe B

a) L = { 3 ; 7 } b) L = { 0 ; 13 } c) L = { -3 }

Satz von Vieta anwenden:
p = -( x₁ + x₂ )
q = x₁ · x₂
a)  p = -10      q = 21           x² - 10x + 21 = 0
b)  p = -13      q = 0            x² - 13x = 0   
c)  p = 6        q = 9            x² + 6x + 9 = 0

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Aufgabe 3

Löse diese Gleichungen sowohl mit quadratischer Ergänzung als auch mit der p-q-Formel

Gruppe A

a)
x² - 18x = -81   | + 81
x² - 18x + 81 = 0

Lösen mit p-q-Formel:
p = -18      q = 81

L = { 9 }

Lösen mittels quadratischer Ergänzung:
x² - 18x + 81 = 0    | - 81
x² - 18x      = -81  | + 81    ( = (18/2)²)
x² - 18x + 81 = 0
(x - 9)² = 0         | Ö
x - 9 = 0            | + 9
x = 9   
L = { 9 }

b)
2x² - 2x - 7,5 = 0    | :2
 x² - x - 3,75 = 0

Lösen mit p-q-Formel:
p = -1     q = -3,75

L = { -1,5 ; 2,5 }

Lösen mittels quadratischer Ergänzung:
x² - x - 3,75 = 0    | + 3,75
x² - x        = 3,75 | + 0,25    ( = (-1/2)² )
x² - x + 0,25 = 4    |
(x - 0,5)² = 4       |  Ö
x - 0,5 = 2      v      x - 0,5 = -2     | + 0,5
x = 2,5          v      x = -1,5
L = { -1,5 ; 2,5 }

Gruppe B

a)
x² + 36 = 12x   | - 12x
x² - 12x + 36 = 0

Lösen mit p-q-Formel:
p = -12      q = 36

L = { 6 }

Lösen mittels quadratischer Ergänzung:
x² - 12x + 36 = 0    | - 36
x² - 12x      = -36  | + 36    ( = (12/2)²)
x² - 12x + 36 = 0
(x - 6)² = 0        | Ö
x - 6 = 0            | + 6
x = 6   
L = { 6 }


b)
2x² + 6x - 3,5 = 0    | :2
 x² + 3x - 1,75 = 0

Lösen mit p-q-Formel:
p = 3     q = -1,75



L = { -3,5 ; 0,5 }

Lösen mittels quadratischer Ergänzung:
x² + 3x - 1,75 = 0    | + 1,75
x² + 3x        = 1,75 | + 2,25    ( = (-3/2)² )
x² + 3x + 2,25 = 4    |
(x + 1,5)² = 4       |  Ö
x + 1,5 = 2      v      x + 1,5 = -2     | + 1,5
x = 0,5          v      x = -3,5
L = { -3,5 ; 0,5 }


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Aufgabe 4

Löse diese Gleichungen mit p-q-Formel oder quadratischer Ergänzung
Gruppe A

a)
(x - 3)(3 - x) = 6x - 2
3x - x² - 9 + 3x = 6x - 2   | -6x +2
-x² - 7 = 0            | ·(-1)
 x² + 7 = 0

 p = 0     q = 7
 D = 0 - 7 = -7 < 0   Þ L = { }   keine Lösung  

b)

   9      8
 ————— - ——— = -1        | ·(x + 1)
 x + 1    x


      8x + 8
 9 - ———————— = -x - 1   | ·x
         x

 9x - 8x - 8 = -x² - x   | +x² +x

 x² + 2x - 8 = 0         | +9
 x² + 2x + 1 = 9
 (x + 1)² = 9
 x + 1 = 3    v    x + 1 = -3
 x = 2        v    x = -4


Gruppe B

a)
(x - 3)(3 - x) = 5x - 3
3x - x² - 9 + 3x = 5x - 3   | -5x +3
-x² + x - 6 = 0            | ·(-1)
 x² - x + 6 = 0 

 p = -1     q = 6
 D = 1 - 6 = -5 < 0   Þ L = { }   keine Lösung  

b)
  5      8  
 ——— + ————— = -1        | ·(x - 6)
  x    x - 6


  5x - 30  
 ————————— + 8   = -x + 6   | ·x
     x

 5x - 30 + 8x = -x² - 6x   | +x² +6x

 x² + 7x - 30 = 0        

 p = 7     q = -30
 x₁ = -3,5 - Ö(12,25 + 30)
     = -3,5 - Ö42,25
     = -3,5 - 6,5 = -10
 x₂ = -3,5 + 6,5 = 3



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Aufgabe 5
Was ist und wozu dient die Diskriminante einer quadratischen Gleichung? 
Gib auch ein Beispiel!
Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel der p-q-Formel (p²/4-q). Sie dient der Unterscheidung, wieviele Lösungen eine quadratische Gleichung
besitzt. Ist sie größer 0, dann hat die Gleichung zwei Lösungen, ist sie gleich 0, hat die Gleichung nur eine, ist sie kleiner 0, hat die Gleichung keine Lösung.
Beispiele:

x² + 3x - 20 = 0    D = 3²/4 + 20 = 22,25 > 0 Þ zwei Lösungen

x² + 3x + 20 = 0    D = 3²/4 - 20 = -17,75 < 0 Þ keine Lösung

x² + 6x + 9 = 0    D = 6²/4 - 9 = 0 Þ eine Lösung

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Aufgabe 6
Gruppe A
Jeder Würfel hat 6 quadratische Seitenflächen. Bei einem Würfel der Kantenlänge a hat jede Seitenfläche den Flächeninhalt a².
Gesucht ist der Würfel, dessen Gesamtoberfläche sich um 576cm² vergrößert, wenn sich die Kantenlänge verdoppelt und dann noch um 1cm vergrößert.

Anleitung: Setze x als Kantenlänge des Würfels. Überlege, wie groß die Kantenlänge des vergrößerten Würfels ist (mit x ausgedrückt).
Stelle eine Gleichung auf, bei der links der um 576cm² vergrößerte Flächeninhalt des kleinen und rechts der Flächeninhalt des neuen Würfels mit der größeren Kantenlänge steht.

Lösung
Die Oberfläche des Würfels besteht aus 6 Quadraten der Fläche x², beträgt also 6x². Die um 1 vergrößerte doppelte
Kantenlänge ist 2x+1, eine Fläche (2x+1)² und die Gesamtoberfläche 6(2x+1)². Die Gleichung lautet damit:
6x² + 576 = 6(2x + 1)² 
6x² + 576 = 6(4x² + 4x + 1)
6x² + 576 = 24x² + 24x + 6   | -24x² -24x  -6
-18x² - 24x + 570 = 0        | :(-18)
 x² + 4/3x - 95/3 = 0
       19          
x = - ————    v    x = 5
        3
 
Da die negative Lösung ausscheidet, ist die Kantenlänge des gesuchten Würfels 5cm.


Gruppe B
Jeder Würfel hat 6 quadratische Seitenflächen. Bei einem Würfel der Kantenlänge a hat jede Seitenfläche den Flächeninhalt a².
Gesucht ist der Würfel, dessen Gesamtoberfläche sich um 270cm² vergrößert, wenn sich die Kantenlänge verdreifacht und dann noch um 1cm vergrößert.

Anleitung: Setze x als Kantenlänge des Würfels. Überlege, wie groß die Kantenlänge des vergrößerten Würfels ist (mit x ausgedrückt).
Stelle eine Gleichung auf, bei der links der um 270cm² vergrößerte Flächeninhalt des kleinen und rechts der Flächeninhalt des neuen Würfels mit der größeren Kantenlänge steht.

Lösung
Die Oberfläche des Würfels besteht aus 6 Quadraten der Fläche x², beträgt also 6x². Die um 1 vergrößerte dreifache
Kantenlänge ist 3x+1, eine Fläche (3x+1)² und die Gesamtoberfläche 6(2x+1)². Die Gleichung lautet damit:
6x² + 270 = 6(3x + 1)² 
6x² + 270 = 6(9x² + 6x + 1)
6x² + 270 = 54x² + 36x + 6   | -54x² -36x  -6
-48x² - 36x + 264 = 0        | :(-48)
 x² + 0,75x - 5,5 = 0
 x = - 2,75    v    x = 2
 
Da die negative Lösung ausscheidet, ist die Kantenlänge des gesuchten Würfels 2cm.

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Ergebnisse

Punkteverteilung:
Aufgabe Punkte
1 4
2 6
3 8
4 6
5 4
6 Zusatz-
aufgabe


Notenspiegel:

1 2 3 4 5 6
1 4 6 5 4 3

Durchschnitt: 3,8

30,4% negative Noten