Matheseitenüberblick
Winkeldreiteilung an der Hyperbel
Winkeldreiteilung an der Parabel
Winkelteilung an der Archim. Spirale
Albrecht Dürer gibt in seiner Unterweisung der Messung
(Nürnberg 1525) eine Anleitung zur
näherungsweisen Dreiteilung eines beliebigen Winkels (d.h. des entsprechenden Kreisbogenabschnitts). Siehe unten
das Faksimile mit Umschrift in modernen Lettern oder das
→Digitalisat
der Sächsischen Landesbibliothek Dresden.
Eine exakte Konstruktion der Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal ist unmöglich.
Die von Dürer beschriebe (und gefundene?) Näherung ist sehr gut, wie man hier eindrucksvoll sehen kann.
Meines Wissens ist bislang unbekannt, ob Dürer hier auf ältere Quellen bzw. vorhandenes Wissen zurückgriff oder
die Konstruktion tatsächlich selber fand.
Auf dieser Seite kann Dürers Konstruktion interaktiv studiert werden. A, B, P und O sind per Maus verschiebbar, man kann auch alles komplett verschieben und zoomen (Mausrad). Der zu drittelnde Winkel ist auch per Schiebregler einstellbar oder nach Klick auf den Wert eingebbar.
Unten teile ich — wohl als Weltpremiere — eine exakte Formel für Dürers Näherungswinkel mit.
Dort auch der Graph für die Differenzen zum exakten Winkeldrittel.
(Ich habe die Formel mit einigen Mühen selbst entwickelt und vereinfacht
. − Eine Quelle konnte ich weder in der mir vorliegenden
Literatur noch im Internet auftreiben.)
Ein ytlich trum eins zirckels das mir für kumbt teil ich in 3. teyl also / Das zirckeltrum sey .a.b. mit einer geraden lini zusamenzogen / und wie ich vor gelert hab theyl ich die gerad lini .a.b. mit zweyen punckten .c.d. in drey gleiche felt. Darnach setz ich ein zirckel mit dem ein fuß in den punckten .a. und mit dem andern reiß ich auß dem punckten .c. ein ryß durch die zirckellini / wo die durchschnyttenn wirdt / da setz ich ein .e. Darnach setz ich den zirckel mit dem ein fuß in den punkckten .b. und mit dem andern reiß ich auß dem punckten .d. durch die zirckellini / wo sie durchschnitten wirdet / da setz ich ein .f. Darnach zeůch ich zwů aufrecht lini auß c.d. biß an die zirckellini da setz ich g.h. so werden die drey leng im zirckeltrum a.e.g.h. und f.b. gleich an einander / und bleiben zwey eng teil .e.g. und .h.f. uber / darnach nym ich ein zirckel / setz in mit dem ein fuß in den punckten .a. und den andern in den punckten .g. unnd von dann reiß ich biß auf die gerad lini .a.b. da setz ich ein .k. Darnach teil ich .c.i. und k.d. wie ich vor gelert hab / mit zweyen punckten in 3. teil / und setz den zirckel mit dem einen fuß in den punckten .a. und den andern in den negsten punckten bey dem .i. und reiß biß an die zirckellini / da setz ich ein .l. Darnach setz ich den zirckel mit dem einen fuß in das .b / und den andern in den negsten punckten bey dem .k. und reiß von dann an die zirckellini da setz ich ein .m. also wirdet die zirckellini .a.b. mit den zweyen punckten .l.m. in 3. teyl geteylt / wie ich dz unden hab aufgeryssen / wer es will geneuer haben / der such es demonstrative.
Hinweis: Die Punkte E und F sind überflüssig.
Dürers Konstruktion drittelt den Winkel α so:
mit 3β ≈ α.
Folgender Graph zeigt die Zuordnung
Beachten Sie die Einheitenzeichen bei den kleinen Winkeldifferenzen: ' symbolisiert Bogenminuten (60' = 1°), " steht für Bogensekunden (60" = 1' bzw. 3600" = 1°).
© Arndt Brünner, 15. 6. 2021