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Hüllkurve rotierender Geraden

       

Auf einer Drehscheibe ist dezentral ein Stab montiert. Wenn die Scheibe schnell rotiert, entsteht an den Außenrändern scheinbar eine Kurve: die Hüllkurve.

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Die Hüllkurve einer Kurvenschar heißt Einhüllende oder Enveloppe. Das Verfahren zur Bestimmung ist zumindest im Prinzip recht einfach: Für jede Stelle x gibt es irgendeine Kurve der Schar, die dort den äußersten, also den extremen Funktionswert erzeugt. Da die Auswahl der richtigen Kurve vom Kurvenparameter abhängt, muß also die Funktion nach dem Kurvenparameter abgeleitet werden. Die Ableitung muß für diesen Parameter 0 sein, d.h. man löst nach dem Parameter auf und ersetzt damit in der Kurvenschar den Parameter. So wird die Kurve für jedes x automatisch den Parameter so modifizieren, daß der äußerste aller möglichen Funktionswerte erzeugt wird. Das Verfahren ist sehr ähnlich zur Bestimmung einer Ortskurve. Der Unterschied besteht nur darin, daß eben nach dem Kurvenparameter abgeleitet wird, nicht nach der Variablen.

Für eine um die x-Achse rotierende Gerade stellt man z.B. eine Parameterform einer der Geraden auf, multipliziert sie von links mit der Rotationsmatrix (für Rotation um die x-Achse) und projiziert das Ergebnis orthogonal in die x-y-Ebene, was sehr einfach ist, da man einfach x und y ablesen und z ignorieren kann.
Nun leitet man die y-Komponente nach dem Rotationswinkel ab, setzt 0 und löst die entstandene trigonometrische Gleichung nach dem Winkel auf. Eine der Lösungen setzt man in die y-Komponente der Stammfunktion ein. Es entsteht ein Ausdruck der Form y=sqrt(ax² + bx +c), den man quadrieren kann, um die symmetrische untere Hülle dazuzugewinnen.

Da das Lösen trigonometrischer Gleichungen und Umformen entsprechender Terme heute nicht mehr zum Standardwissen gehört, hier eine zum Bestimmen der Enveloppe einer Rotationsgerade mit dem dadurch erbrachten konstruktiven Beweis, daß es sich hierbei im allgemeinen um eine Hyperbel handelt.

© Arndt Brünner, 15. 4. 2018