Integrieren

Funktionswerte interaktiv graphisch integrieren

Diese Seite ermöglicht das Studieren der Integration von Funktionswerten einer Funktion f (linke Graphik) zu deren bestimmtem Integral (F(x₂)-F(x₁) (rechte Graphik).

Geben Sie dazu einen Funktionsterm für f(x) ein. Streichen Sie dann mit gedrückter linker Maustaste und Shift nach rechts über den Graphen von f. Rechts werden simultan die im überstrichenen Intervall insgesamt entstandenen Integralwerte als Graph der so erzeugten Stammfunktion angezeigt. Bzw. dieser wird aus infinitesimal kurzen Strichen mit einer jeweiligen Steigung, die dem momentan f(x) entspricht, erzeugt. Die Funktionswerte f(x) der linken Funktion an der Stelle der Maus erscheinen dabei als jeweilige Steigungen am rechten Rand der rechts für F(x) erzeugten Kurve. Auch nach dem Erzeugen kann dann das Übereinstimmen von f(x) mit F'(x) an jeder Stelle des erzeugten Bereichs betrachtet werden, wenn man mit der Maus an die gewünschte Stelle geht.

Das Integrationsintervall ergibt sich entweder aus dem so überstrichenen Bereich oder kann wahlweise (unterhalb der Graphik) festgelegt werden. Dort werden auch Null-, Extrem- und Wendestellen der Funktion angezeigt, die man als Bereichsgrenzen direkt eintragen lassen kann. (Diese werden immer im aktuellen Bildausschnitt bestimmt; nach Wunsch und Notwendigkeit (bei größerem Ausschnitt o.ä.) einfach neu berechnen lassen.)

Man kann den Startwert für F(x) festlegen (y-Koordinate des linken Kurvenrands, d.h. F(x₁).

Wenn Sie rechts eine Funktion F(x) eingeben, so wird diese zusätzlich im rechten Fenster geplottet (falls nicht anzeigen deaktiviert wurde). Man kann auf diese Weise sehr anschaulich graphisch überprüfen, ob das wohl die richtige Stammfunktion von f ist.

Wie auf diesen Seiten üblich, können die Darstellungsbereiche mit der Maus verschoben und per Mausrad gezoomt werden.

f(x) =		F(x) = anzeigen

∫ als Fläche unter f darstellen ∫ als Wert F(x): links rechts		C= C=F(x₁)
Grenzen hier festlegen: x₁: x₂:

Hinweise

Die Seite dient der interaktiven Visualisierung, nicht der exakten Berechnung. Die notwendigerweise schnelle numerische Integration läuft abschnittsweise über Polynome 5. Grades mit p=f, p'=f' und p''=f'' an den jeweiligen Abschnittsgrenzen und fängt dabei Sonderfälle nicht ab. Insbesondere geht es schief, wenn der Integrand nicht im kompletten Integrationsintervall (auch an den Rändern) zweimal differenzierbar ist oder die Ableitungswerte irgendwo ausufern. Unter normalen Umständen sind die berechneten Werte jedoch in der angezeigten Genauigkeit zuverlässig.

Neu: Stattdessen Gauß-Quadratur anwenden mit dem Legendreschen Polynom vom Grad 5 (nach lin. Transformation des jeweiligen Integrationsintervalls [a;b] auf [-1;1]), deren Nullstellen x_i als Stützstellen und geeigneten Koeffizienten c_i, so daß (b-a)/2·Σ(c_if((b-a)/2·x_i+(a+b)/2)) eine Näherung für das Integral über f von a nach b ist.
Berechnete Koeffizienten und Nullstellen anzeigen: