Konfidenzellipse

Konfidenzellipse und -intervalle

Interaktive Graphik zur Konfidenzellipse. Konfidenz = Vertrauen. Es wird veranschaulicht, in welchem Intervall das wahre p mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-η liegt bei einer Stichprobenlänge von n und einer entsprechend experimentell bestimmten relativen Häufigkeit h. D.h.: P(|p - h_rel| ≤ ε) ≤ 1 - η bzw. ex negativo: P(|p - h_rel| ≥ ε) ≥ η.

Eine relativ grobe Abschätzung liefert die Ungleichung von Bienaymé¹⁾-Tschebyscheff²⁾, die für binomialverteilte Zufallsvariablen X so lautet: P(|h_rel - p| ≥ ε) ≤ p q/(n ε) =: η, woraus |p - h_rel| = √(p(1 - p)/(n η)) folgt³⁾. Der Bereich, in dem diese Ungleichung gilt, ist in einer h_rel-p-Graphik eine Ellipse. Diese wird auf dieser Seite interaktiv dargestellt. Man kann optional (ebenfalls interaktiv) mit den entsprechenden Binomialverteilungen bzw. ihrer Approximation durch die Normalverteilung vergleichen. Die Werte für n und η sowie für festes p oder h_rel für die Berechnung des jeweiligen Vertrauensintervalls können mit den Schiebereglern festgelegt oder nach Klick auf die Werte auch manuell eingegeben werden. (So sind auch beliebige n>1000 möglich. Für n>10000 wird die Binomial- automatisch mit der Normalverteilung approximiert.)

¹⁾ Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878): französischer Mathematiker. Er formulierte 1869 die Tschebyscheff-Ungleichung im Hinblick auf das Gesetz der großen Zahlen.
→ Wikipedia-Artikel.

²⁾ Pafnuti Lwowitsch Tschebyscheff (Пафнутий Львович Чебьшёв, auch Tschebyschow transkribiert, 1821-1894): russischer Mathematiker. Tschebyscheff gilt zusammen mit Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski als der bedeutendste russische Mathematiker des 19. Jahrhunderts.
→ Wikipedia-Artikel.

³⁾ siehe dazu diese →pdf-Datei.