Kreis durch drei Punkte

Ein Kreis ist durch drei unterschiedliche Punkte seines Bogens eindeutig festgelegt. Betrachtet man das Dreieck, das die drei Punkte bilden, so hat das Dreieck einen eindeutigen Umkreis, denn der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der drei Seiten, und davon gibt es ja nur jeweils eine.

Aus drei verschiedenen Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen, läßt sich also stets genau ein Kreis finden, auf dessen Bogen die drei Punkte liegen.

Alle Punkte auf dem Kreisbogen haben vom Mittelpunkt denselben Abstand r. Nach Pythagoras gilt also der Zusammenhang

     r = √(x² + y²)
bzw. r² = x² + y²

Ein Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung des Koordinatensystems besitzt also beispielsweise die Gleichung

x² + y² = 25

Ist der Kreis verschoben, so lassen sich die neuen Verhältnisse auf diese Gleichung zurückführen, indem man von den Koordinaten der Punkte zunächst die Koordinaten des Mittelpunktes abzieht, bevor man sie in "den Pythagoras" einsetzt:

(x - x_m)² + (y - y_m)² = r²

Wenn man die Klammern auflöst, erhält man:

x² - 2·x·x_m + x_m² + y² - 2·y·y_m + y_m² = r²

Nun soll zu drei gegebenen Punkten der Mittelpunkt und der Radius des zugehörigen Kreises ermittelt werden. Hierzu werden die Terme mit den unbekannten Größen (x_m, y_m und r) auf die linke Seite und alle anderen Terme auf die rechte Seite gebracht:

x_m² + y_m² - r² - 2·x_m·x - 2·y_m·y = -(x² + y²)

Wenn man nun setzt: A:= x_m² + y_m² - r², B:= 2·x_m und C:= 2·y_m, ergibt sich:

A + B(-x) + C(-y) = -(x² + y²)

Da jeweils drei Paare für x und y bekannt sind und drei Unbekannte (A, B und C) vorliegen, läßt sich ein lineares Gleichungssystem aufstellen, mit dem man A, B und C ermitteln kann:

A + B(-x₁) + C(-y₁) = -(x₁² + y₁²)
A + B(-x₂) + C(-y₂) = -(x₂² + y₂²)
A + B(-x₃) + C(-y₃) = -(x₃² + y₃²)

Wenn man soweit ist, erhält man x_m = B/2, y_m = C/2, und r² = x_m² + y_m² - A

Beispiel

Gesucht werden Mittelpunkt und Radius des Kreises, der durch die Punkte (-2|4), (1|-3) und (5|7) geht.

Wir stellen das Gleichungssystem auf:

A + 2B - 4C = -20
A - B + 3C = -10
A - 5B - 7C = -74

Die erste Gleichung wird von den beiden anderen abgezogen, um dort A zu eliminieren:

A + 2B - 4C = -20
- 3B + 7C = 10
- 7B - 3C = -54

Um aus der ersten Gleichung B zu eliminieren, wird die erste mit 3 multipliziert und die zweite mit 2, worauf zur ersten Gleichung die zweite addiert wird:

3A + 6B - 12C = -60
- 6B + 14C = 20
- 7B - 3C = -54

3A + 2C = -40
- 6B + 14C = 20
- 7B - 3C = -54

Nun multiplizieren wir die zweite Gleichung mit 7/2 und die dritte mit -3, worauf wir zur dritten Gleichung die zweite addieren. Dadurch fällt auch dort das B weg:

3A + 2C = -40
- 21B + 49C = 70
21B + 9C = 162

3A + 2C = -40
- 21B + 49C = 70
58C = 232

Wir teilen die dritte Gleichung durch 58 und die zweite durch 7, ziehen das Doppelte der dritten von der ersten ab und das 7fache von der zweiten:

3A + 2C = -40
- 3B + 7C = 10
C = 4

3A = -48
- 3B = -18
C = 4

Nun muß noch die erste Gleichung durch 3 und die zweite durch -3 dividiert werden, und wir haben A, B und C ermittelt mit:

A = -16
B = 6
C = 4

Damit ergibt sich:

x_m = B/2 = 3
y_m = C/2 = 2
r² = x_m² + y_m² - A = 9 + 4 - (-16) = 29
r= √29 = 5,385164807134504...