Auf dieser Seite können Approximationen von (Riemannschen) Integralen visualisiert und berechnet werden. Geben Sie dazu im oberen Feld eine Integrandenfunktion ein. Wenn Sie im zweiten Feld die voreingetragene 0 ändern, werden Flächen zwischen den beiden angegebenen Funktionen dargestellt und berechnet (wahlweise orientiert oder nicht), allerdings keine Rechtecke etc. mehr.

Mit n regelt man die Anzahl der äquidistanten Unterteilungen des Integrationsintervalls, also Δx = (x₂-x₁)/n. Das Integrationsintervall kann entweder in den entsprechenden Eingabefeldern oder durch Verschieben der Grenzen in der Graphik per Maus verändert werden. Wahlweise kann ein Fang an ganzen Zahlen und/oder an Nullstellen (bzw. Schnittstellen bei zwei Funktionen) aktiviert werden. Unten wird eine Liste von Null- und Extremstellen (im jeweils aktuellen Darstellungsbereich) von f bzw. ggf. von f-g generiert, die man als Grenzen per entsprechenden Links direkt eintragen kann.

Im kleinen Plotfenster erscheinen wahlweise der Integralwert für [x₁; x] (x₁: eingestellte Untergrenze, x: Variable der Zuordnung) und die jeweiligen Summen der aktivierten Näherungstypen oder die diversen Näherungen für unterschiedliche n. (Dargestellt werden hierbei nur die Werte, die jeweils berechnet wurden, d.h. die Graphik vervollständigt sich entsprechend für jedes neu eingestellte n.)
In das kleine Fenster kann im ersten Modus (x↦Integralwerte) zum Überprüfen o.ä. optional noch eine vermutliche Stammfunktion dazugeplottet werden. (Man gibt sie unterhalb ein und blende sie ein- und aus mit dem Optionsfeld.) Die zweite Option paßt die Integrationskonstante automatisch so an, daß F(x₀)=0 ist. Auch kann man interaktiv die Funktionswerte der Integrandenfunktion (bzw. die Differenzen) mit Tangente und Steigungsdreieck an der rekonstruierten Stammfunktion einblenden. Dazu die Option anklicken und die Maus über eine der Graphiken bewegen.

Potenzreihe 5. Grades von f(x)-g(x) um x₀= sowie deren Stammfunktion:  ( mit Dezimalpunkten)
    rationale Näherung   nur, wenn Σ(p(x)-f(x))² in Umgebung von x₀ besser (kleiner) ist.

p(x) zeichnen   immer automatisch
Ableitungen symbolisch und Potenzreihe 8. Grades (β-Version, siehe Anmerkungen)
ggf. Differenzfunktion zeichnen (falls g(x)≢0).

Weitere Hinweise und Anmerkungen

Die Integralwerte werden hier selbst (natürlich) auch numerisch berechnet, was, da es schnell gehen soll, nicht immer hunderprozentig genau ist, vor allem bei uneigentlichen Integralen mit offenen Integrationsgrenzen und einer Grenze dort (Bsp.: ln(x) oder asin(x)). Dennoch sind die Werte recht genau, und das Programm erfüllt auch hier den Zweck der Visualisierung. Vorsicht bei Polstellen, das Programm kann, wenn die zum Integrationsbereich gehören, abstürzen.

Es wird automatisch versucht, eine Potenzreihe p(x) 5. Grades des eingegebenen Integranden f(x) bzw. der Differenzfunktion f(x)-g(x) zu berechnen. (Das findet auf Grundlage ab f''' numerisch approximierter Ableitungswerte statt (bis f'' wird exakt berechnet), mit gewissen Ungenauigkeiten ist also auch hier zu rechnen.) Als Entwicklungsstelle x₀ wird automatisch die Untergrenze des Integrationsintervalls eingestellt. Man kann die Stelle aber auch manuell wählen bzw. ändern bzw. mit der Maus verschieben. Im kleinen Fenster kann die Stammfunktion P(x) geplottet werden, die Anpassung der Integrationskonstante C findet (falls diese Option aktiviert ist) sinnvollerweise so statt, daß P(x₀)=F(x₀). (Das funktioniert nur im Integrationsbereich, denn die Anpassung findet ja an den jeweiligen numerisch integrierten Wert statt, und falls der nicht berechnet wurde, tja ...)

Experimentell habe ich eine Art symbolischen Ableitungsalgorithmus implementiert, der zwar mechanisch u.U. unhandlich komplizierte Ableitungen produziert, da sie bislang nur rudimentär vereinfacht werden, der aber ohne Näherungen auskommt.

Im kleinen Fenster kann per Mausrad der y-Bereich gezoomt werden. Der Darstellungsbereich im großen Plotfenster kann, wie auf diesen Seiten üblich, mit der Maus interaktiv verändert werden: verschieben (mit Maus ziehen) und zoomen (Mausrad und rechte Maustaste).
Die Integrationsgrenzen lassen sich mit der Maus verschieben, es werden vertikale Orientierungsstriche eingeblendet, wenn man mit der Maus in deren Nähe kommt, und der Mauszeiger verändert seine Form.

Die Aufteilung der Fenster bzw. die Größe der Plotfelder läßt sich verändern, wenn man unterhalb der rechten unteren Ecke des großen Plotfensters mit der Maus nach links oder rechts zieht. Der Mauszeiger wird dabei zu ↔.

Bei den echten Ober- bzw. Untersummen muß ja in jedem Abschnitt ein eventuelles lokales Extremum berechnet und gegebenenfalls beachtet, d.h. dem jeweils relevanten Randwert vorgezogen werden. Das bringt einigen Rechenaufwand mit sich, der aus Gründen der Praktikabilität (Geschwindigkeit) möglichst klein gehalten werden muß: Insbesondere hier keine Garantie für hundertprozentig richtige Werte...!

Mit den Buttons [/2] und [·2] für Verdoppelung bzw. Halbierung der Teilungen kann man die Verbesserung der Annäherung am anschaulichsten studieren.

Übrigens ist diese Seite die erste neue nach immerhin fünf Monaten der Unlust (generell und spezifisch). Ich finde sie recht gelungen. Mal sehen, wie es (und ob es überhaupt) weitergeht mit diesen Matheseiten und irgendwie ja überhaupt.