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Partialbruchzerlegung

Gebrochenrationale Terme, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der des Nennerpolynoms ist, können in eine Summe von Einzelbrüchen zerlegt werden, deren Nenner nur linear oder quadratisch sind. Diese Nenner sind die Faktoren, in die der ursprüngliche Nenner faktorisiert werden kann. Eine solche Form ist vor allem für die Integration solcher Funktionen von entscheidender Bedeutung, denn für die einzelnen linearen und quadratischen Brüche der Zerlegung können leicht Stammfunktionen angegeben werden, während das bei höheren Graden im allgemeinen nicht mehr so leicht möglich ist.
Der Rechner auf dieser Seite führt diese Zerlegung kommentiert in allen Einzelschritten vor für Nenner, die ganzzahlig faktorisiert werden können. Es können auch gebrochene Koeffizienten eingegeben werden; diese werden vor der eigentlichen Zerlegung herausgekürzt bzw. -multipliziert. Auch geklammerte Terme werden interpretiert, allerdings nur bis zum Polynomgrad 10.

Hier Zähler- und Nennerpolynom eingeben und die Partialbruchzerlegung mit der entsprechenden Schaltfläche starten oder über die Schaltfläche rechts ein Beispiel mit den gewünschten Eigenschaften erzeugen lassen:
    
Polynomgrad im Nenner:
    
  

 

Das Nennerpolynom wird in lineare und quadratische Faktoren faktorisiert:

      7x + 1     
—————————————————
 (x + 1)2(x - 1)

Aus den Faktoren des Nenners ergeben sich die Nenner der einzelnen Ansatzbrüche. Faktoren, die mehrfach auftreten, werden in allen Potenzen bis zur vorliegenden angesetzt. Die jeweiligen Zähler werden bei linearen Nennern konstant und bei quadratischen Nennern linear angesetzt — unabhängig von etwaigen Potenzen:

   A   
———————
 x + 1
  +  
     B    
——————————
 (x + 1)2
  +  
   C   
———————
 x - 1

Nun werden die Summanden durch Erweitern auf den (bekannten) Hauptnenner gebracht:

 A(x2-1)  +  B(x2-1)  +  C(x-1) 
————————————————————————————————
         x3 + x2 - x - 1

Es wird ausmultipliziert und nach Potenzen von x sortiert:

 (A + C)x2  +  (B + 2C)x  +  (-A - B + C) 
——————————————————————————————————————————
              x3 + x2 - x - 1

Durch Koeffizientenvergleich zwischen dem Zähler mit den angesetzten Unbekannten und dem Zähler des gegebenen Polynoms ergeben sich folgende Gleichungen:

Potenz
von x		     Ansatz
mit den
unbekannten
Koeffizienten		    gegebenes
Zähler-
polynom
 
x2: A + C = 0
x1: B + 2C = 7
x0:- A - B + C = 1

Dieses Gleichungssystem hat folgende Lösungen:

A = -2
B = 3
C = 2

Damit ergibt sich folgende Partialbruchzerlegung:

      7x + 1     
—————————————————
 x3 + x2 - x - 1
  =  
  -2 
———————
 x + 1
  +  
    3   
——————————
 (x + 1)2
  +  
  2  
———————
 x - 1

 
 

© Arndt Brünner, 29.10.2011
Version: 20.11.2011
repariert am 11.2.2012