Untersuchung von Funktionen des Typs Polynom mal Exponentialfunktion

Auf dieser Seite kann man die Kurvendiskussion mit Funktionen des in der Überschrift angegebenen Typs (wobei der Exponent der e-Funktion auch ein Polynom ist) interaktiv üben. Man kann die Funktion selbst vorgeben oder sich eine (für lineare oder quadratische Polynomfunktionen und lineare Exponenten mit oder ohne absolutes Glied) erzeugen lassen. Bei den hier erzeugten Funktionen sind immer einige der Stellen (Nullstellen, Extrem- und Wendestellen) ganzzahlig oder zumindest rational.

Optionen fürs Erzeugen:
Quadratisches Polynom (sonst linear)
gebrochene Koeffizienten im Polynom
gebrochene Koeffizienten im Exponenten
möglichst Dezimalbrüche
auch Brüche als Lösungen

Selbsteingabe: () · e

oder über ein bis drei Stellen und ggf. dem Faktor im Exponenten:
→klick hier

Nullstellen

Allgemeiner Ansatz: f(x) = 0

Bestimmen Sie die Lösungsmenge dieser Gleichung, also die Nullstellen von f. Schreiben Sie dafür zeilenweise äquivalente Aussagen. Trennen Sie dabei Fallunterscheidungen durch ein kleines v für das logische oder-Symbol ∨.
Potenzen schreibt man mit dem ^-Zeichen, Multiplikationen mit *, also 4x² als 4*x^2 (wobei man das hier auch 4x^2 schreiben kann, also ohne *).
Die e-Funktion schreibt man mit exp(), also z.B. e^-2x als exp(-2x).
Brüche kann man mit dem Schrägstrich schreiben, z.B. 3/7 für drei Siebtel.
Die Quadratwurzel schreibt man mit sqrt(), für ± einfach +- eingeben, also ±√5 als +-sqrt(5).
Überprüfung findet nach jeder Betätigung der Eingabetaste statt.

In der zweiten Zeile (als ersten Lösungsschritt) muß man stets die Fallunterscheidung Polynom=0 ∨ e-Funktion=0 hinschreiben (nach der Regel, daß ein Produkt genau dann 0 wird, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist). Im übernächsten Schritt darf man dann die e-Funktion außer acht lassen und formt nur das Polynom um. Bei quadratischen Termen kann man die p-q-Formel verwenden. Mehrere Lösungen am Ende wieder mit ∨ aufzählen.

y-Achsenschnitt

Allgemeiner Ansatz: f(0) =

Ableitungen

Bestimmen Sie hier die erste Ableitung von f(x) mit Produkt- und Kettenregel:

u =	v =	f '(x) = u'v + u v'
u' =	v' =

Zweite Ableitung von f(x), d.h. die Ableitung von f '(x):

u =	v =	f ''(x) = u'v + u v'
u' =	v' =

Die Bestimmung der dritten Ableitung (und die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für Wendestellen damit) darf man sich bei der Untersuchung solcher Funktionen in Prüfungssituationen (Klausur, Abitur...) meist schenken.

Bestimmung möglicher Extremstellen

Allgemeiner Ansatz: f '(x) = 0 (notwendige Bedingung für Extremstellen)

Überprüfung einer hinreichenden Bedingung: f ''(x_e) ≠ 0 ?

Berechnung zugehöriger Funktionswerte: f(x_e) = ...

Bestimmung möglicher Wendestellen

Allgemeiner Ansatz: f ''(x) = 0 (notwendige Bedingung für Wendestellen)

Überprüfung einer hinreichenden Bedingung: f '''(x_w) ≠ 0 ? (darf bei Wendestellen solcher Funktionen oft unterbleiben)

Berechnung zugehöriger Funktionswerte: f(x_w) = ...

Funktionsgraph:

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