Der Sinussatz

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Der Sinussatz

Der Sinussatz und der Kosinussatz sind zwei Erweiterungen der trigonometrischen Funktionen, die an sich ja nur in rechtwinkligen Dreiecken definiert sind, auf beliebige Dreiecke.

Der "Trick" dabei ist in beiden Fällen, das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke zu "teilen".
(Die Höhe steht senkrecht auf der Seite.)

In beiden Teildreiecken läßt sich nun die Definition des Sinus anwenden:
Übertragen auf die beiden Teildreiecke:
Jeweils nach h_c aufgelöst:
Da bei beiden Gleichungen rechts dasselbe, nämlich h_c, steht, sind auch beide linken Seiten der Gleichungen gleich:
Wenn man durch a und b teilt, entsteht eine Verhältnisgleichung mit einander entsprechenden Größen in jedem Bruch:

Entsprechend funktioniert es bei Teilung des Dreiecks durch die anderen Höhen, wobei sich stets ergibt, daß sich die Verhältnisse zwischen Sinuswerten der Winkel und den gegenüberliegenden Seiten jeweils paarweise gleichen.
Insgesamt gilt daher, voilà, ...

... der Sinussatz.

Natürlich sind auch die Kehrwerte der Quotienten einander gleich. Es ergibt sich hier noch die bemerkenswerte Tatsache, daß die Quotienten in dieser Form gleich dem Durchmesser des Umkreises bzw. dem doppelten Radius sind. (→Beweis)

Stillschweigend wurde bis jetzt vorausgesetzt, daß die Höhen innerhalb des Dreieck liegen.
Was ist, wenn eine Höhe außerhalb liegt, wie bei diesem Dreieck?

Nun wird das Dreieck nicht mehr in zwei rechtwinklige Teildreiecke "geteilt".

Allerdings entstehen auch hier zwei rechtwinklige Dreiecke. Das linke hat — wie oben — die Gegenkathete h_c und die Hypotenuse b, der Winkel ist nach wie vor α. Auch das rechte hat wieder die Hypotenuse a und die Gegenkathete h_c. Der einzige Unterschied besteht darin, daß hier der relevante Winkel nicht β ist, sondern dessen Nebenwinkel β', wobei gilt: β' = 180° - β.

Glücklicherweise ist die Sinusfunktion symmetrisch, u.a. mit der Achse 90°.
Es gilt:

sin(180° – β) = sin(β)

und, weil 180° – β = β':

sin β' = sin β

Daraus folgt unmittelbar, daß der Sinussatz auch in Dreiecken gilt, bei denen eine Höhe außerhalb liegt, bei denen mithin ein Winkel größer als 90° ist.

Bei rechtwinkligen Dreiecken (z.B. β = 90°) ist der Sinussatz äquivalent zur Definition des Sinus, denn bei β = 90° ist sin β = 1. Außerdem ist a identisch mit h_c. Somit gilt:

Zwei Beweise für


		Das Dreieck ABC habe den Umkreis mit Mittelpunkt M und Radius r. Die Dreiecksseite a ist eine Sehne des Umkreises, und der Winkel α ist Umfangswinkel zur Sehne a. Nach dem Umfangswinkelsatz sind alle Umfangswinkel zu a (auf der selben Seite des Kreises) gleich; insbesondere der, bei dem bei B ein rechter Winkel entsteht. In diesem Fall geht die Strecke A'C durch den Mittelpunkt des Umkreises (Satz des Thales), und es ist \|A'C\|=2r. Im rechtwinkligen Dreieck A'BC gilt dann sin(α) = a/(2r) bzw. a/sin(α) = 2r

		Sei M wieder der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ABC und r:= \|MB\|=\|MC\|, der Umkreisradius. Es sei außerdem P die Seitenmitte von a=BC. Der Winkel BAC (=α) ist Umfangswinkel zur Sehne BC (=a). Der Mittelpunktswinkel zur Sehne BC, nämlich BMC, ist dann 2α (Mittelpunkts-Umfangswinkelsatz). Die Winkel BMP und PMC sind jeweils die Hälfte davon, also jeweils gleich α. Wegen \|MB\|=r und Winkel(MPB)=90° gilt im rechtwinkligen Dreieck MBP: r·sin(α) = \|BP\| und im Dreieck MPC analog r·sin(α) = \|CP\|. Für \|BC\|=a gilt dann a = \|BP\|+\|CP\| = 2·r·sin(α) bzw. 2·r = a/sin(α).

Die Beweise lassen sich analog für b/sin(β) sowie c/sin(γ) führen. Allerdings gilt 2r=b/sin(β)=c/sin(γ) schon aufgrund des Sinussatzes (b/sin(β)=c/sin(γ)=a/sin(α)).