Übungen zum Lösen von Gleichungssystemen erzeugen
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Additionsverfahren - was ist das, wie geht das?

Das Additionsverfahren dient dazu, ein "System" von zwei Gleichungen zu lösen, d.h. herauszubekommen, welche Zahlen man für die beiden vorkommenden Variablen einsetzen muß, damit die beiden Gleichungen aufgehen.

Zum Beispiel könnte man bei der Gleichung 4x + 3y = 10 für x 1 einsetzen und für y 2, und dann würde die Gleichung aufgehen. Man könnte aber auch für x 4 einsetzen und für y -2, und es würde auch gehen. Es gibt bei einer Gleichung zumeist unendlich viele solcher Lösungen, wenn sie zwei Unbekannte hat.

Wenn die Lösung, also die Werte für x und y, allerdings noch eine zweite Gleichung erfüllen sollen, dann gibt es in den meisten Fällen nur eine einzige Möglichkeit. Solche zwei zusammengehörenden Gleichungen nennt man dann "Gleichungssystem".

Erstes Beispiel:

	4x + 3y = 10
	-5y = 2x - 19

Jetzt formt man erst mal beide Gleichungen so um, daß alle Variablen auf der linken Seite stehen, d.h. bei der zweiten Gleichung müssen die 2x auf die linke Seite gebracht werden:

	4x + 3y = 10
	-5y = 2x - 19		| -2x

	4x + 3y = 10
	-2x - 5y = -19

Durch irgendein Verfahren muß nun aus diesen ZWEI Gleichungen, die jeweils BEIDE Variablen enthalten, eine einzige gemacht werden, die nur noch eine enthält. Beim Additionsverfahren werden beide Gleichungen entweder addiert oder voneinander subtrahiert, das kommt auf die Faktoren an. Dazu später mehr.

Beim Addieren zweier Gleichungen müssen die Faktoren vor den Variablen und die Zahlen getrennt behandelt werden:
Wenn man die beiden Gleichungen 4x + 3y = 10 und -2x - 5y = -19 addiert, dann addiert man also die beiden Faktoren vor dem x getrennt: 4 + (-2) = 4 - 2 = 2
Für y sieht es so aus: 3 + (-5) = 3 - 5 = -2; und für die einzelnen Zahlen so: 10 + (-19) = 10 - 19 = -9.

Die Addition der beiden Gleichungen ergibt damit:

		4x + 3y = 10
+		-2x - 5y = -19
=		2x - 2y = -9

Damit ist aber, wie man sieht, keine Variable verschwunden, d.h. wir haben immer noch eine Gleichung mit zwei Unbekannten!

Das ganze sähe aber schon viel besser aus, wenn z.B. bei der zweiten Gleichung vor dem x eine -4 stehen würde, dann fiele nämlich das x heraus, denn 4 + (-4) = 4 - 4 = 0!

Und so multipliziert man einfach die komplette zweite Gleichung mit 2:

	4x + 3y = 10
	-2x - 5y = -19		| ·2

	4x + 3y = 10
	-4x - 10y = -38

Addieren ergibt jetzt:

Damit kann y bestimmt werden:

Jetzt wird dieser Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen für y eingesetzt, und diese Gleichung wird nach x aufgelöst:

Zur Probe die herausgefundenen Werte in beide Gleichungen einsetzen und überprüfen, ob es stimmt:

1. Gleichung:

2. Gleichung:

Kapiert?

Zweites Beispiel:

	3x + 4y = -12
	4x - 7y = 21

Hier kann man leider nicht so einfach eine Gleichung malnehmen, um vor einer Variablen gleiche Faktoren herzustellen. Es sei denn, man nähme die erste Gleichung mal 4/3 oder 1,333333333333333..., aber das führt zu "unmöglichen" (d.h. unhandlichen) Zahlen.

Ein immer funktionierender Trick ist bei solchen Situationen, jede Gleichung mal den entsprechenden Faktor in der anderen Gleichung zu nehmen. Die erste Gleichung wird also mal 4 genommen, weil in der zweiten Gleichung 4x auftreten. Die zweite Gleichung wird mal 3 genommen, da in der ersten 3x auftreten:

	3x + 4y = -12		·4
	4x - 7y = 21		·3

	12x + 16y = -48
	12x - 21y = 63

Nun bringt Addieren in diesem Falle nichts, denn dadurch bekäme man 24x. Hier muß nun subtrahiert werden! Wir ziehen die zweite von der ersten Gleichung ab und erhalten:

Bei x: 12x - 12x = 0x, x fällt also weg!
Bei y: 16y - (-21y) = 16y + 21y = 37y
Bei den Zahlen: -48 - 63 = —111

also:

		12x + 16y = -48
—		12x - 21y = 63
		37y = -111		| :37
		y = -3

Einsetzen in zweite Gleichung:

Probe:

1. Gleichung:

2. Gleichung:

Kochrezept

1. Beide Gleichungen so umformen, daß die Variablen (mit ihren Faktoren) auf einer Seite (links) vom Gleichheitszeichen stehen und auf der anderen Seite (rechts) eine einzelne Zahl.
    
2. Suche jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache der Faktoren vor x und vor y.
   Wähle die Variable aus, bei der das kleinere kgV auftritt, und multipliziere beide Gleichungen so, daß vor dieser Variablen jeweils gleiche Faktoren stehen (das ist dann nämlich das kleinste gemeinsame Vielfache).
   Man kann auch ohne Umschweife die erste Gleichung mit dem Faktor vor dem x der zweiten Gleichung multiplizieren und umgekehrt.
    
3. Falls die (betragsmäßig gleichen) Faktoren das selbe Vorzeichen haben, dann subtrahiere die Gleichungen voneinander. Wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben, dann addiere sie.
   Dies geschieht komponentenweise, d.h. die Faktoren vor x werden untereinder addiert, die Faktoren vor dem y (oder entsprechenden anderen Variablen), und die einzelnen Zahlen werden für sich behandelt.
    
4. Dadurch entsteht eine Gleichung mit nur einer Variablen. Diese wird nun durch normale Äquivalenzumformungen nach der Variablen aufgelöst.
    
5. Der erhaltene Wert wird in eine der ursprünglichen Gleichungen für die jeweilige Variable eingesetzt, wodurch wieder eine Gleichung entsteht, die nur noch eine Variable, nämlich die andere, enthält.
   Nach dieser auflösen!
    
6. Probe machen, indem die Lösungen in beide Gleichungen eingesetzt werden. Die Lösungen stimmen nur dann, wenn beide Gleichungen "aufgehen".

Zum Kontrollieren von Übungsaufgaben aus dem Buch empfiehlt sich das Javascript auf diesen Seiten zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Dort gibt man in das linke Textfenster die Gleichungen ein, betätigt den Button "Berechnen", und schon erscheinen rechts die Lösungen. Auch Brüche werden unterstützt. Dort wird die systematische Erweiterung des Additionsverfahrens erklärt, das sogenannte Gaußsche Eliminationsverfahren, mit dem auch Systeme von mehr als drei oder vier Gleichungen relativ leicht gelöst werden können.

Auf dieser Seite können auch Übungsaufgaben erzeugt werden!

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