Erläutertes Beispiel zur Polynomdivision

Die Polynomdivision

Definitionen:

Polynome sind Summen aus Ausdrücken a_n·xⁿ, wobei n eine natürliche Zahl (hier einschließlich der 0) darstellt und a_n eine Zahl, den Koeffizienten der jeweiligen Potenz von x. Man ordnet sie gewöhnlicherweise nach absteigenden Potenzen von x.
Beispiel: x³ + 6x² + 3x - 10 (3x ist 3·x¹, und 10 ist 10·xº, denn xº=1, für alle x≠0)

Der Koeffizient a₀ (im Beipiel die 10) heißt auch absolutes Glied, der Summand mit x auch lineares Glied, der mit x² quadratisches Glied, der mit x³ kubisches Glied.

Der Grad des Polynoms ist die höchste Potenz von x.
Beispiele: das Polynom x³ + 6x² + 3x - 10 besitzt den Polynomgrad 3, das Polynom x⁷ - x³ + 3x - 1 den Grad 7.

Rechnen mit Polynomen

Man kann Polynome addieren und subtrahieren: Dabei werden jeweils gleichnamige Summanden (das sind Summanden mit der gleichen Potenz von x) zusammengefaßt.
Beispiele: (x³ + 6x² + 3x - 10) + (2x³ - 6x² + 1) = 3x³ + 3x - 9
(x³ + 6x² + 3x - 10) - (x³ - 3x² + 4x - 7) = 9x² - x - 3

Man kann Polynome auch miteinander multiplizieren. Das kennst Du vom Ausmultiplizieren von Klammern:
Beispiel: (x² + 3x - 7)(5x - 2) = 5x³ + 15x² - 35x - 2x² - 6x + 14
= 5x³ + 13x² - 41x + 14

Es gibt auch eine Division von Polynomen (u.U. mit Rest). Wenn zwei Polynome P₁ und P₂ gegeben sind, so gibt es immer zwei weitere Polynome Q und R, so daß gilt: P₁ = Q·P₂ + R.

Wenn P₁ und P₂ bekannt sind, gewinnt man Q und R durch die (Polynom-)Division P₁:P₂. Dann ist Q der Quotient und R der Rest. Also P₁ : P₂ = Q Rest R

Ein Seitenblick auf die Division von ganzen Zahlen: Auch hier gibt es ja die aus der Grundschule noch gut bekannte Division mit Rest. Wenn man die Zahl x durch die Zahl y teilt, dann paßt sie q mal hinein und es bleibt (möglicherweise) der Rest r.
Beispiel: 127 : 5 = 25 Rest 2 (x=127, y=5, q=25, r=2)
Das kann man auch so schreiben: 127 = 25·5 + 2 oder mit den Buchstaben: x = q·y + r.

Der Rest ist bei der Division von natürlichen Zahlen immer kleiner als der Divisor. Analog hat der Rest R bei der Polynomdivision P₁:P₂ immer einen kleineren Polynomgrad als der Divisor P₂.

Beim schriftlichen Dividieren von ganzen Zahlen zieht man vom Dividenden nach und nach passende Vielfache des Divisors ab. Wie oft der Divisor dabei jeweils in den Dividenden hineinpaßt, ergibt nach und nach das Ergebnis, den Quotienten. Bei der Polynomdivision funktioniert es im Grunde genauso, wie gleich an einem Beispiel gezeigt werden soll. Man zieht vom Dividenden passende Vielfache des Divisors ab, bis kein Rest bleibt oder der Rest einen kleineren Polynomgrad als der Divisor besitzt.

Ausführliches Beispiel

Das Polynom x³ + 6x² + 3x - 10 soll durch das Polynom x + 5 geteilt werden.

Man überlegt zuerst, wie oft (x+5) in das erste Polynom hineinpaßt. Das ist hier natürlich etwas unklarer als bei Zahlen. Man betrachtet dabei stets die höchste Potenz aus beiden Polynomen (also x³ aus dem ersten und x aus dem zweiten Polynom) und fragt, wie oft x in x³ hineinpaßt. Anders gefragt: Mit was muß man x malnehmen, damit x³ herauskommt? — Natürlich mit x². Das ist das erste Glied unseres Ergebnisses:

(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)  =  x²

           Hinweis: x³ = x·x²

Wie bei der Division von Zahlen nimmt man nun den neuen Bestandteil des Ergebnisses mal den Divisor und schreibt ihn passend unter den Dividenden ("passend" bedeutet hier, gleiche Potenzen von x untereinander zu schreiben):

 (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)  =  x² 
 (x³ + 5x²)
               Hinweis: (x³ + 5x²) = (x + 5)·x²

Dabei wird (wie bereits erwähnt) darauf geachtet, daß gleiche Potenzen von x untereinander stehen. Nun wird subtrahiert und (im Unterschied zur Division von Zahlen) alles gleich "heruntergeholt":

 (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)  =  x² 
-(x³ + 5x²)   ↓           ↓
        x² + 3x - 10

        Hinweis: x² = 6x² - 5x²

Aha: Der Rest hat nur noch den Polynomgrad 2! Durch den nächsten Schritt reduzieren wir den Grad des Restes weiter, indem wir das x² aus dem Rest herauswerfen. Wieder die Frage: Wie oft paßt das x aus dem Divisor in das x² (die höchste Potenz des Restes)? Antwort: x-mal, denn x mal x ergibt x². Der nächste Summand des Quotienten (des Ergebnisses) ist + x.

 (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)  =  x² + x
-(x³ + 5x²)
        x² + 3x - 10

Das x wird mit dem Divisor (x+5) multipliziert und vom Rest abgezogen:

 (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)  =  x² + x
-(x³ + 5x²)
        x² + 3x - 10
      -(x² + 5x)        = (x+5)·x
            -2x - 10

Frage: Wie oft paßt x in -2x? Antwort: -2 mal. Also sind die nächsten Schritte, -2 an das Ergebnis anzuhängen, mit (x+5) zu multiplizieren und das Produkt vom Rest abzuziehen:

 (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)  =  x² + x - 2
-(x³ + 5x²)
        x² + 3x - 10
      -(x² + 5x)
            -2x - 10
          -(-2x - 10)
                   0   ╶→ Es geht ohne Rest auf.

Übungsaufgaben

(alle Aufgaben gehen ohne Rest auf)

1.)    Teile (x³ + 3x² - x - 3) durch (x+3), durch (x+1) und durch (x-1)
2.)    Teile (x³ - 13x - 12) durch (x+3) , durch (x+1) und durch (x-4)
3.)    Teile (x⁴ + 6x³ - 4x² - 54x - 45) durch (x+5), (x+3), (x-3) und (x+1)
4.)    Teile (x⁷ - 1) durch (x - 1)
5.)    Teile (9x² - 121) durch (3x + 11) und (3x - 11)

→ hier gibt es interaktive Übungen,
→ hier einen Rechner für Polynomdivision, der eingebbare Aufgaben detailliert vorrechnet und erläutert,
→ und hier kann man sich weitere Übungsaufgaben erzeugen lassen.