Gibt es einen Bruch, der gleich √25 ist?

Die Wurzel einer Zahl x ist diejenige Zahl, die mit sich selbst malgenommen x ergibt. Man müßte also einen nicht mehr kürzbaren Bruch a/b finden können, der mit sich selbst malgenommen gleich 5 ist. Jeder (naja, zumindest jeder, der in der 6. Klasse aufgepaßt hat), weiß, daß das 5/1 ist, aber wir wollen sehen, wo der Beweis, der bei √2 zum Widerspruch führte, seine Analogie verliert:

    a     a
   ——— · ——— =  25
    b     b

a und b sollen Natürliche Zahlen sein, also a, b ∈ N.

Der Bruch soll außerdem vollständig gekürzt sein, d.h. a und b haben keine gemeinsamen Teiler mehr.

Nun ist

    a     a     a2          
   ——— · ——— = ———      
    b     b     b2          

und damit gilt:

         a2
        ———  =  25            (1)
         b2

Im folgenden wollen wir wieder versuchen durch einige Umformungen nachzuweisen, daß der Bruch, den wir als nicht mehr kürzbar definiert haben, doch gekürzt werden kann, weil sowohl a als auch b einen gemeinsamen Teiler haben. Damit würden wir einen Widerspruch erzeugen, der bedeutete, daß es keinen solchen Bruch geben kann.

Wenn man die letzte Gleichung nach b² auflöst, sieht man, daß a² durch 25 teilbar sein muß:

    a2                   
   ———  =  25       | · b2    
    b2                   
 

    a2 = 25·b2       | :25     
 

    a2
   ———  =  b2
    25

Da nämlich b eine Natürliche Zahl ist, ist auch b² eine natürliche Zahl. Bei √2 hatten wir 2 als Teiler, nun ist es 25. Das ist etwas komplizierter:

a² ist also durch 25 teilbar, dann muß a² in seiner Primfaktorzerlegung die beiden Primfaktoren 5·5 enthalten, denn 25 = 5·5. Dann muß aber a selbst nicht durch 25 teilbar sein, sondern nur durch 5, denn jedes a steuert seine Hälfte an den "5en" der Primfaktoren von a² bei.

Wir können also hier nicht die Zahl a durch 25·c ersetzen, was analog zum Beweis für "√2 ist irrational" wäre, sondern nur durch a = 5c:

         a2
        ———  =  25            (1)
         b2


        (5c)2
       —————  =  25        
         b2


         25c2
        —————  =  25        
          b2

Nun versuchen wir wieder, die letzte Gleichung so umzuformen, so daß sie aussieht wie (1):

         25c2
        —————  =  25      | :25
          b2


          c2
        —————  =  1       | ·b2
          b2


	· · · ? · · · 

Schon hier sieht man, daß das nicht funktionieren kann, denn woher sollte jetzt noch der Quotient 25 kommen, der in Gleichung (1) auftrat? Es geht also nicht, und des Pudels Kern ist das doppelte Vorkommen von Primfaktoren im Radikanden 25 selbst.

Man sieht aber an der letzten Gleichung, daß c = b ist und damit 5b = 5c = a. Die 5 war aber der doppelte Primfaktor der 25, und daran sieht man, daß der Beweisversuch für "√r ist irrational" dann scheitern muß, wenn r eine Quadratzahl ist.

Was passiert, wenn r keine Quadratzahl ist, aber einen doppelten Primfaktor besitzt, z.B. r = 18 = 2·3·3 ? Versuchen wir wieder analog, einen Bruch zu finden, dessen Quadrat gleich 18 ist:

    a2                   
   ———  =  18       | · b2    (2)
    b2                   
 

    a2 = 18b2       | :18            
 

    a2
   ————  =  b2
    18

Wenn a² durch 18 = 2·3·3 teilbar ist, muß a durch 2 und 3, also durch 6 teilbar sein.

Für das Sechstel von a schreiben wir jetzt c. Es gilt damit 6c = a und man kann in der Gleichung (2) das a durch 6c ersetzen:

         a2
        ———  =  18            (2)
         b2


        (6c)2
       —————  =  18        
         b2


         36c2
        —————  =  18        
          b2

Nun versuchen wir wieder, die letzte Gleichung so umzuformen, so daß sie aussieht wie (2):

         36c2
        ————  =  18      | :18
          b2


         2c2
        ————  =  1      | ·b2
          b2


          2c2 = b2      | : c2


               b2
          2 = ————             (3)
               c2

Nun sind wir plötzlich an einem Punkt, an dem der Beweisversuch für "√5 irrational" unmittelbar in den Beweis für √2 einmündet, denn diese Gleichung (3) ist identisch mit Gleichung (2) beim Beweis für "√2 ist irrational".

Auch hier geht das Spiel also quasi von vorne los und wir geraten in einen nicht endenden Kreislauf von Brüchen, die unendlich oft mit 2 gekürzt werden können, was natürlich unmöglich ist.

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