Gibt es einen Bruch, der gleich √2 ist?

Die Wurzel einer Zahl x ist diejenige Zahl, die mit sich selbst malgenommen die Zahl x ergibt. Man müßte also einen Bruch a/b finden, der mit sich selbst malgenommen gleich 2 ist:

    a     a
   ——— · ——— =  2
    b     b

a und b sollen Natürliche Zahlen sein, also a, b ∈ N.

Der Bruch soll außerdem vollständig gekürzt sein, d.h. a und b haben keine gemeinsamen Teiler mehr.

Nun ist

    a     a     a2          
   ——— · ——— = ———      
    b     b     b2          

und damit gilt:

         a2
        ———  =  2            (1)
         b2

Im folgenden werden wir durch einige Umformungen sehen, daß der Bruch, den wir als nicht mehr kürzbar definiert haben, doch gekürzt werden kann, weil wir sowohl a als auch b durch 2 teilen werden! Damit erzeugen wir einen Widerspruch, was bedeutet, daß es keinen solchen Bruch geben kann.

Wenn man die letzte Gleichung nach b² auflöst, sieht man, daß a² durch 2 teilbar sein muß:

    a2                   
   ———  =  2       | · b2    
    b2                   
 

    a2 = 2·b2   | :2            (*)
 

    a2
   ———  =  b2
    2

Da nämlich b eine Natürliche Zahl ist, ist auch b² eine natürliche Zahl. Wenn die Hälfte von a² aber eine Natürliche Zahl ist, muß a² gerade sein!
Und weiter: Wenn a² gerade ist, ist auch a selbst gerade, denn nur gerade Zahlen ergeben mit sich selbst malgenommen wieder gerade Zahlen!

Für die Hälfte von a schreiben wir jetzt c. Es gilt damit 2c = a und man kann in der Gleichung (1) das a durch 2c ersetzen:

         a2
        ———  =  2            (1)
         b2


        (2c)2
       —————  =  2        
         b2


         4c2
        ————  =  2        
          b2

Nun wird die letzte Gleichung folgendermaßen umgeformt, so daß sie aussieht wie (1):

         4c2
        ————  =  2      | :2
          b2


         2c2
        ————  =  1      | ·b2
          b2


          2c2 = b2      | : c2


               b2
          2 = ————             (2)
               c2

Nun geht das Spiel von vorne los. Wir formen dies so um, daß man sieht: Auch b ist durch 2 teilbar. Dann ersetzen wir b durch 2d, wobei d die Hälfte von b darstellt und eine Natürliche Zahl sein muß, wenn b gerade ist.

    b2                   
   ———  =  2       | · c2    
    c2                   


    b2 = 2·c2   | :2
 

    b2
   ———  =  c2
    2

Ersetze in Gleichung (2) die Variable b durch 2d und löse wieder auf:

         b2
        ————  =  2             (2)
         c2


       (2d)2
       —————  =  2        
         c2


         4d2
        ————  =  2      | :2
          c2


         2d2
        ————  =  1      | ·c2
          c2


          2d2 = c2      | : d2


               c2
          2 = ————             (3)
               d2

Nun vergleiche (1) mit (3). Sowohl der Bruch a²/b² ergibt 2 als auch der Bruch c²/d². Allerdings ist c die Hälfte von a, und d ist die Hälfte von b. Damit ist der Bruch bei (1) mit 2 gekürzt worden - und das sollte ja nach unserer Voraussetzung nicht gehen!

Darüber hinaus: Da ja (3) dieselbe Form wie (1) und (2) hat, müßte man auch (3) wieder durch 2 kürzen können und käme zu einem Bruch e²/f², und mit diesem und allen weiteren Ergebnissen könnte man das immer wieder - ohne Ende - machen. Das ist unmöglich, denn irgendwann ist jeder Bruch einmal fertig gekürzt.

Damit gibt es keinen Bruch, der mit sich selbst malgenommen 2 ergibt, was nichts anderes heißt, als daß √2 kein Bruch, keine Rationale Zahl ist!

Bingo! - Oder, wie man früher lateinisch ausgerufen hätte:

QUOD ERAT DEMONSTRANDUM

...was zu beweisen war.

Könnte man nach diesem Verfahren nicht auch "beweisen", daß √25 kein Bruch ist?

Versuche es und finde den entscheidenden Unterschied! Es kann nicht gehen, schließlich weiß man, daß √25 = 5 = 5/1 eine Rationale Zahl ist...

Wenn es nicht klappt, hier klicken.

Eine andere Begründung

VARIATIO DELECTAT...

Beim Beweis oben haben wir gezeigt, daß der als unkürzbar vorausgesetzte Bruch doch durch 2 gekürzt werden kann; hier werden wir zeigen, daß er durch 5 kürzbar ist.

Betrachte die Gleichung (*) a² = 2·b², die mit Gleichung (1) äquivalent ist. Das Quadrat der einen Zahl (a) ist das Doppelte des Quadrates der anderen Zahl (b).

Wenn man eine natürliche Zahlen quadriert, dann findet sich auf der Einerstelle des Quadrates immer dieselbe Ziffer, als hätte man nur die Einerstelle der Zahl quadriert.

Beispiele:

Es kann also nur 10 Fälle geben:

Nun suche man alle Zahlen aus der zweiten Spalte, deren Doppeltes wieder mit seiner Einerziffer in der zweiten Spalte vertreten ist. Denn wenn a² = 2b² gilt, muß ja das eine Quadrat das Doppelte des anderen sein.

Man findet nur die 0, deren Doppeltes der 0 entspricht, und die 5, deren Doppeltes auf der Einerstelle ebenfalls eine 0 vorweisen muß. Also müßte a² als das Doppelte von b² stets eine 0 als letzte Ziffer haben und somit auch a.
Und b² müßte eine 0 oder eine 5 an der letzten Stelle haben, also auch b selbst.

Nun nehme man wieder an, daß Gleichung (1) vollständig gekürzt sei. Dann entsteht aber sofort ein Widerspruch zur Tatsache, daß sowohl a als auch b offensichtlich durch 5 teilbar sein müssen, was man an ihren Endziffern 0 oder 5 sieht.

Damit gibt es keinen Bruch, der gleich √2 ist.

QUOD ERAT DEMONSTRANDUM

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