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Summe der Kubikzahlen von 1 bis n³

Die Summe der Kubikzahlen von 1 bis n³

                                  n²·(n + 1)²
   1³ + 2³ + 3³ + ... + n³   =   —————————————   
                                       4           

 

Die Formel selbst ist mit Induktion schnell bewiesen:

Induktionsanfang für n=1:
K(1) = 1²·2²/4 = 1    o.k.
 
Induktionsschritt:
K(n+1)  = (n+1)²(n+2)²/4
= (n+1)²(n²+4n+4)/4
= n²(n+1)²/4 + (n+1)²(n+1)
= n²(n+1)²/4 + (n+1)³
= K(n) + (n+1)³

 

Aus dem Vergleich dieser Summenformel mit der Formel für die Summe der natürlichen Zahlen bis n ergibt sich eine überraschende Erkenntnis:
Die Summe der Kubikzahlen 1 + 2³ + 3³ + ... + n³ ist das Quadrat der Summe der natürlichen Zahlen bis n.

1³ + 2³ + 3³ + ... n³ = (1 + 2 + 3 + ... n)²

Nennen wir die Summe der Kubikzahlen von 1 bis n³ K(n) und die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n S(n), dann wäre also K(n) = (S(n))².

Der Beweis der Behauptung K(n) = (S(n))² ist ohne weiteres möglich, wenn man S(n)=n(n+1)/2 verwendet:

Induktionsanfang für n=1:
K(1) = 1³ = 1 = 1² = (S(1))²

Induktionsschritt:
K(n+1)  = (S(n+1))²
= (S(n) + (n+1))²
= (S(n))² + 2·S(n)·(n+1) + (n+1)²
     Wegen S(n)=n(n+1)/2:
= (S(n))² + 2·n(n+1)/2·(n+1) + (n+1)²
= (S(n))² + n(n+1)² + (n+1)²
= (S(n))² + (n+1)(n+1)²
= (S(n))² + (n+1)³
= K(n) + (n+1)³

Es ist mir aber bisher nicht gelungen, die Behauptung K(n)=S(n)² zu beweisen, ohne dabei eine explizite Summenformel heranzuziehen bzw. zu verwenden. Wenn jemand diesen Beweis hat, bitte ich um eine Mail.

 


© Arndt Brünner, 6. 2. 2005
Version: 7. 2. 2005