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Beweis für k=3
Summenformeln bis k=100
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Summenformeln

für die Summen 1k + 2k + ... + nk

k1k + 2k + ... + nk =
1

                                       n·(n + 1)                                      
                                      ———————————                                     
                                           2
2

                                  n·(n + 1)·(2·n + 1)                                 
                                 —————————————————————                                
                                           6
3
                                       2        2                                     
                                      n ·(n + 1)                                      
                                     —————————————                                    
                                           4
4
                                                 2                                    
                         n·(n + 1)·(2·n + 1)·(3·n  + 3·n - 1)                         
                        ——————————————————————————————————————                        
                                          30
5
                              2        2     2                                        
                             n ·(n + 1) ·(2·n  + 2·n - 1)                             
                            ——————————————————————————————                            
                                          12
6
                                             4      3                                
                     n·(n + 1)·(2·n + 1)·(3·n  + 6·n  - 3·n + 1)                     
                    —————————————————————————————————————————————                    
                                          42
7
                        2        2     4      3    2                                  
                       n ·(n + 1) ·(3·n  + 6·n  - n  - 4·n + 2)                       
                      ——————————————————————————————————————————                      
                                          24
8
                                   6       5      4       3    2                      
           n·(n + 1)·(2·n + 1)·(5·n  + 15·n  + 5·n  - 15·n  - n  + 9·n - 3)           
          ——————————————————————————————————————————————————————————————————          
                                          90
9
                 2        2   2              4      3    2                           
                n ·(n + 1) ·(n  + n - 1)·(2·n  + 4·n  - n  - 3·n + 3)                
               ———————————————————————————————————————————————————————               
                                          20
  10   
               2                        6      5      4       3      2               
   n·(n + 1)·(n  + n - 1)·(2·n + 1)·(3·n  + 9·n  + 2·n  - 11·n  + 3·n  + 10·n - 5)   
  —————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————  
                                          66

 

Wer die obigen Formeln anschaut, kann auf den Gedanken kommen, daß die Summe S(n,k):=1k+2k+...+nk stets durch ein Polynom vom Grade k+1 ausgedrückt werden kann. Diese Vermutung läßt sich beweisen (siehe →hier). Die Koeffizienten des Polynoms findet man über ein Gleichungssystem

  a0 + a1 + a2 + ... + ak+1 = S(1,k) = 1k = 1
a0 + 2a1 + 22a2 + ... + 2k+1ak+1 = S(2,k) = 1k + 2k
a0 + 3a1 + 32a2 + ... + 3k+1ak+1 = S(2,k) = 1k + 2k
· · ·
a0 + k a1n + k2a2 + ... + kk+1ak+1 = S(k+1,k) = 1k + 2k + ... + (k+1)k
a0 + (k+1)a1n + (k+1)2a2 + ... + (k+1)k+1ak+1 = S(k+1,k) = 1k + 2k + ... + (k+1)k 		 

Hier ein interaktives Skript zum Berechnen der Koeffizienten bis k=12:
(Bei größeren k entstehen beim Lösen des Gleichungssystems Zahlen >1015, die von Javascript nicht mehr genau verarbeitet werden können. Bei verfügbarem Java bis k=100.)

k =               Zeilenumbruch             Potenzen mit ^             Keine Anzeige des Gleichungssystems T

nS(n,k)GleichungssystemLösung
11 a0 + a1 + a2 + a3 = 1 a0 = 0
25 a0 + 2·a1 + 4·a2 + 8·a3 = 5 a1 = 1/6
314 a0 + 3·a1 + 9·a2 + 27·a3 = 14 a2 = 1/2
430 a0 + 4·a1 + 16·a2 + 64·a3 = 30 a3 = 1/3

S(n,2) = 1/3·n3 + 1/2·n2 + 1/6·n

 

© Arndt Brünner 6. 2. 2005
Version: 3. 12. 2006