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Dürers Polyeder aus Melencolia I

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Im Rahmen meiner derzeitigen Beschäftigung mit Dürer und seiner Unterweisung der Messung kam es fast zwangsläufig zu einer Wiederbelebung des alten Vorhabens, den Polyeder aus dem berühmten Kupferstich Melencolia I zu verstehen, zu rekonstruieren und so perspektivisch darzustellen, daß diese Abbildung dem Origial des Kupferstichs möglichst genau entspricht.

Vor einigen Jahren hatte ich ein erstes Javascript (für html5-Graphik) geschrieben, um Eduard Schröders Versuch zu veranschaulichen, die Abbildung und zudem die Geometrie des Polyeders aus Dürers berühmtem Kupferstich Melencolia I zu rekonstruieren, den er in seinem Buch Dürer, Kunst und Geometrie, Berlin 1980, S. 64ff. ausführlich erläutert. Er führt dort anhand der erkennbaren Fluchtlinien zunächst eine Augdistanzberechnung vor, die mir dann zunächst als Ausgangspunkt der eigenen Modellierung dienen sollte und die ich daher nachvollziehen wollte. (Die Darstellung der entsprechenden Linien und des Thaleskreises ist hier denn auch noch enthalten.)

In seiner Bildanalyse scheint Schröder nun seltsamerweise nicht davon auszugehen, daß die sechs Punkte der mittleren Polyederebene (Ecken der langen Fünfeckkanten) auf einer Kugel liegen, womit diese Punkte im zugehörigen planen Fünfeck dann auch nicht auf einem Kreis lägen. Davon gehe ich jedoch fest aus. Die Dreiecksecken liegen im allgemeinen nicht auf auf dieser Umkugel. Für diesen Fall läßt sich der Körper jedenfalls m.E. nicht überzeugend genug rekonstruieren (was sich hier ja ausprobieren läßt: Kappung auf 0% stellen und unten bei der Regression die Option kapp abschalten). Die beiden äußeren Winkel des Fünfecks (wenn dessen Spitze unten liegt) müssen symmetrisch zur horizontalen Achse sein, sofern der Körper ein abgestumpftes Rhomboeder ist. Die Fünfecke sind dann zwangsläufig abgeschnittene Rhomben (oder Rauten).

Ziel meiner Bemühungen war nun weniger von spekulativen Überlegungen ausgehend zu mutmaßen, nach welcher Zahlensymbolik Dürer den Körper konstruiert haben könnte, um das dann am Kunstwerk zu verifizieren. Sondern ich wollte sozusagen ganz unbefangen einen Körper aus sechs kongruenten, achsensymmetrischen Fünfecken (entstanden aus einseitig achsenparallel abgeschnittenen Rauten) und zwei gleichseitigen Dreiecken sowie eine Zentralprojektion im Raum finden, deren Bild dann dem Kupferstich möglichst genau entspricht und in diesen auch gleich nach entsprechender mathematisch-geometrischer Abbildung (Projektion auf Ebene) eingezeichnet werden kann.

Hilfreich ist, daß sich in einem orignalen Skizzenbuch Dürers, das in der Dresdner Landesbilbliothek aufbewahrt wird, ein Entwurf des Polyeders findet, der dem Kupferstich (spiegelverkehrt) fast paßgenau überlagert werden kann. (Man kann hier die Überlagerung der Entwurfsskizze durch Verstellung der Transparenz ein- ausblenden. (Schieberegler unter der Graphik)) Die Skizze enthält sogar einen Augpunkt, der sehr nahe an denen des Kupferstichs und auch der Rekonstruktion liegt. (Das scheint mir deshalb bemerkenswert, da er in der Skizze mehr den Anschein erweckt, sozusagen nur symbolisch die Konstruktion nach der damals ja revolutionären Fluchtpunktperspektive dokumentieren als tatsächlich den exakten Augpunkt darzustellen, denn es fehlen jegliche Konstruktionslinien und ähnliches.) Die Skizze liefert insbesondere die beiden im Kupferstich natürlich verdeckten Punkte des Körpers, die für die Rekonstruktionsanalyse jedoch hohen Wert haben, da sie durch ihre weiteste Entfernung zum Auge bezüglich der Perspektive gerade besonders aussagekräftig sind.

Nun ist es mir endlich gelungen, eine funktionierende nichtlineare Regression (also Minimierung der Fehlerquadrate der x- und y-Abweichungen der Projektion zu den Referenzpunkten) zu implementieren, die die durchaus nicht wenigen Parameter der Abbildung (drei für die Form des Körpers (spitzer Winkel der Fünfecke, Abplattung und generelle Größe), dann drei für Position (zwei Koordinaten) und Drehung, einen für den Augabstand (Auge sitzt intern auf der negativen y-Achse, der Körpermittelpunkt liegt in der xz-Ebene) und schließlich zwei für x- und y-Verschiebung im Bild sowie einen für eine Drehung, da man nicht a priori davon ausgehen kann, daß die Fluchtpunkte der Kupferstich-Welt und die der Polyederkonstruktion genau übereinstimmten und auch die zugrundeliegende Graphik in ihrer Drehausrichtung nicht Dürers Intention entsprechen mag (→Anmerkung 1)), also es ist mir endlich gelungen, einen Algorithmus der kleinsten Fehlerquadrate zu programmieren, der diese Parameter so bestimmt, daß die Abbildung den Wunsch einer möglichst guten Übereinstimmung mit dem Kupferstich durchaus erfüllt.

Das Resultat dieser Regression führt nun aber nicht nur zu der erhofften recht guten Passung, sondern darüber hinaus zu einem überraschenden Ergebnis in den Aufrissen des Körpers, die auf einmal einen augenfälligen Zusammenhang mit dem viergeteilten Raster des magischen Quadrats offenlegen und einer einbeschriebenen Dreiteilung durch ein Raster, das sozusagen die Ziffern verbindet, wenngleich die Knoten nicht ganz mittig in den Feldern des Vier×vier-Quadrates sitzen (und auch nicht im goldenen Schnitt). Das kann eigentlich kein Zufall sein und dürfte nun umgekehrt mit einiger Wahrscheinlichkeit das Geheimnis der Konstruktion des Körpers entschlüsseln... Wie außergewöhnlich es ist, merkt man erst, wenn man die Form der Fünfecke verändert. Verkleinern Sie auch einmal das blaue Raster (an einer der Ecken ziehen) so, daß es das Außensechseck der Draufsicht genau umschließt... (Initial umschließt es das Bild der Umkugel, auf der je drei der Fünfeckpunkte liegen, also die secks Ecken des Körpers, die zu keinem der beiden Dreiecke gehören.)

Die Graphik mit dem Kupferstich läßt sich per Maus verschieben und zoomen. Alle Parameterwerte können nach Klick auf den Wert auch manuell eingegeben werden. Für die Regression können Parameter deaktiviert werden (sie bleiben dann fix so wie eingestellt), man kann die Anzahl der Iterationen wählen und einen Schrittweitenparameter. Ferner kann man einstellen, ob die Punkte der Entwurfszeichnung nun berücksichtigt werden (nach interner Numerierung 0 und 3), und der Punkt 1 nach Skizze oder Kupferstich oder gar nicht. Hintergrund dieser Option ist, daß bei vielen bisherigen Rekonstruktionsversuchen genau dort, wo auch Entwurf und Stich am meisten voneinander abweichen, nämlich an der unteren Kante nach links hin, der größte Unterschied zum Original zu beklagen ist. (Auch in meiner Rekonstruktion ist die untere Kante etwas mehr geneigt, aber weniger als bei vielen Versuchen anderer Autoren.) Siehe auch →Anmerkung 2. Man könnte vermuten, daß Dürer den Punkt unten links etwas aufgrund ästhetischer Erwägungen etwas nach unten bzw. vorne gezogen hat.
Schließlich können die der Berechnung zugrundeliegenden Referenzpunkte (Ecken des Polyeders im Kupferstich bzw. in der Skizze) verschoben werden (bei aktivierter Darstellung mit Maus ziehen).

Ganz unten auf der Seite wird ein Schnittmuster des aktuellen Polyeders erzeugt.

Anmerkungen:

¹ Die hier verwendete Reproduktion des Stichs orientiert sich an der Blattseitenrändern und hat waagerechte Kanten im Gesims des Gebäudes sowie im magischen Quadrat. Der See-Horizont ist dagegen leicht (ca. 0,3°) nach rechts unten geneigt. Andere Abbildungen im Internet (z.B. die aus wikisource) liegen so, daß der Seehorizont waagerecht ist, die genannten Kanten aber entsprechend nach rechts oben ansteigen. Das vorliegende Programm berücksichtigt dieses Problem, indem der abgebildete Körper noch um seine Mitte in der Bildebene rotiert werden kann. Diese Option ist zu Anfang bei der Regression abgeschaltet. (Die Rotation ist bzgl. des Vorzeichens im mathematischen Drehsinn orientiert, d.h. positiv gegen die Uhrzeigerrichtung.) Seltsamerweise bekommt man sogar eine leicht bessere Passung bei einer leichten Drehung des Körpers nach links (gegen den Uhrzeigersinn), d.h. es wird gegen den Horizont (See) noch schiefer.
Eine optimale Passung (sofern man annimmt, daß Dürer unten links aus ästhetisch-optischen Gründen geschummelt hat (vgl. Anm. 2), bekommt man allerdings mit w3≈-0,3° (d.h. angepaßt an den Bildhorizont) und deaktivierter Beachtung der unteren Punkte 0, 1 und 3.

² Werden bei der Regression der Punkt P1 (unten links, nach interner Numerierung) und die beiden verborgenen (P0&3) nicht berücksichtigt, bekommt man oben herum (erwartungsgemäß) eine bessere Passung. An der Geometrie des Körpers ändert sich dadurch entscheidend nur die Größe der Kappung, d.h. der Abstumpfung des Rhomboedersstumpfs etwas, nicht am spitzen Winkel der Fünfecke

 
Bildnachweis:
Kupferstich nach der Darbietung der Digitalen Sammlung des Städelmuseums Frankfurt/Main zusammengestückelt. Die originale, dort downloadbare Bilddatei hat knapp 60 MB und wurde für die Zwecke dieser Seite in Auflösung und Komprimierung auf ein praktikabel erscheinendes Maß reduziert. Diese Bearbeitung muß als solche gekennzeichnet werden. Und es soll nicht der Eindruck entstehen, daß mich das Städel in dieser Nutzung als Lizenzgeber besonders unterstützt. Also, ich hoffe sehr, der Eindruck der besonderen Unterstützung entsteht nicht. Die originale Bilddatei der Digitalen Sammlung des Städels steht unter der hier nebst Verlinkung anzugebenden Lizenz CC BY-SA 4.0 Städel Museum, Frankfurt am Main.
Skizze: Digitalisat der Staats- und Landesbibliothek Dresden.

Schnittmuster

Hier ein Netz bzw. ein Schnittmuster des aktuellen Polyeders. Man kann in den meisten Browsern die Graphik über das Kontextmenü (rechte Maustaste) in die Zwischenablage kopieren oder speichern. Alternativ kann man eine Hardware-Bildschirmkopie machen ([Alt] + [Druck/S-Abf]).

Geeignete Kanten für Klebefalze findet man (übrigens bei jedem beliebigen Polyedernetz!) so:
Man beginnt an irgendeiner Kante und fügt dann reihum an jeder zweiten Kante einen Klebefalz an. Dann stößt beim Zusammenfalten mit Sicherheit jede beklebefalzte Kante an eine unbefalzte Kante.

© Arndt Brünner, 23. 6. 2021
Version: 25. 6. 2021