Die Anzahl der Nullstellen von Polynomen

Regel von Descartes (René Descartes, * La Haye-Descartes (Touraine) 31. 3. 1596, † Stockholm 11. 2. 1650, frz. Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler): Die Anzahl der positiven Nullstellen eines Polynoms entspricht entweder der Anzahl der Vorzeichenwechsel innerhalb der Koeffizientenfolge oder ist, falls möglich, um zwei kleiner.

Regel von Sturm (Jacques Charles François Sturm, * Genf 29. 9. 1803, † Paris 18. 12. 1855, schweizer Mathematiker): Man bilde die Kette der sogenannten Sturmschen Funktionen oder Polynome (siehe unten) und berechne die Werte dieser Funktionen jeweils für x₁ und x₂. Die Differenz zwischen der Anzahl der Vorzeichenwechsel innerhalb der jeweiligen Funktionswerte ist die Anzahl der Nullstellen zwischen x₁ (ausschließlich) und x₂ (einschließlich).

Geben Sie unten ein Polynom ein oder lassen Sie ein Zufallpolynom erzeugen. Das Polynom darf auch gebrochene Koeffizienten haben. Die Sturmsche Kette wird in der Regel automatisch berechnet und für die angegebenen Intervallgrenzen ausgewertet. Ebenso kann die Vorzeichenregel von Descartes am jeweiligen Beispiel ausführlich studiert werden. Klicken Sie nach der Eingabe von Ausdrücken mit Klammern, die im automatischen Interpretationsmodus nicht verstanden werden, auf die Berechnen-Schaltfläche.
 

Erläuterungen

Das zweite Polynom P₁ der Sturmschen Kette ist die erste Ableitung des ersten Polynoms P₀; die weiteren Polynome ergeben sich als negative Reste der Polynomdivision der beiden jeweiligen Vorgänger: P_n-2 = Q·P_n-1 + (-P_n).
Bei allen Polynomen der Kette können bei der Polynomdivision auftretende gebrochene Koeffizienten durch Multiplikation mit einer geeigneten positiven Zahl ganzzahlig gemacht werden, und es kann gegebenenfalls mit dem ggT der Koeffizienten gekürzt werden. (Hinweis: Das hier implementierte Programm kürzt gegebenenfalls auch bei P₁.)

Der Algorithmus ist bis auf die vertauschten Vorzeichen der jeweiligen Restpolynome identisch mit dem euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggTs. Da dieser vom Vorzeichen unabhängig ist, ist der letzte von Null verschiedene Rest — also das letzte von Null verschiedene Polynom der Sturmschen Kette — der ggT von Polynom und zugehöriger Ableitung. Dieser ist genau dann nicht konstant, wenn das Polynom nicht „quadratfrei“ ist, also mindestens einen quadratischen, d.h. doppelt auftretenden Faktor enthält.

→ Polynomdivision
→ ggT von Polynomen

© Arndt Brünner, 30. 10. 2011
Version: 22. 10. 2011