Probieren Sie hier aus, mit welchen Parameterwerten a, b, c die Gaußsche Glockenkurve f(x) = a e^{−0,5(x−b)²/c²} die Wahrscheinlichkeiten B_n,p(k) einer binomialverteilten Zufallsvariable X mit einstellbaren n und p am besten annähert.

Alternative Glockenkurve: f(x)=a/(1/3((x-b)/c)^2+1). (Interessant ist, daß f(x)=a/(c·x²+1)^d mit c=e^1/(2d)−1 für d → ∞ gegen φ(x)=a·e^−x²/2 konvergiert und mit dieser Funktion immer das Maximum gemeinsam hat und durch deren beiden Wendepunkte geht. Das kann an der unteren Graphik (dort ist die Gaußsche Glockenkurve standardisiert) angeschaut werden.)

Standardnormalverteilung mit hineintransformierter Binomialverteilung

Es stellt sich heraus, daß für die Verschiebung mit b=µ und die Skalierung in X-Achsenrichtung mit c=σ die Kurve mit dem Parameter a dann so fast optimal an die Binomialverteilung angepaßt wird, wenn durch diese Streckung in p-(y-)Richtung die Gesamtfläche unter der Gaußschen Glockenkurve genau 1 beträgt, es also eine Wahrscheinlichkeits(dichte)verteilung ist. Dichteverteilung deshalb, weil bei der Definitionsmenge R keinen einzelnen Werten der Zufallsvariablen mehr eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden kann. Es ist aber F_n;p(k) ≈ Φ(X*), wobei F(k) die kumulierte Binomialverteilung B(X≥k) darstellt, Φ(X*) das Integral von -∞ bis X* der Funktion φ(x)=1/√(2π)e^-x²/2 und X*=(k-np)/√(np(1-p)) die standardisierte Zufallsvariable, die bezüglich X* in Standardabweichungen skaliert ist und symmetrisch zu X*=0 liegt.

In der folgenden Graphik nun die mit µ=0 und σ=1 standardisierte Normalverteilung mit der umgekehrt nunmehr mit der Transformation X*=(k-np)/√(np(1-p)) an diese Standardnormalverteilung angepaßten Binomialverteilung.

Unterhalb können bezüglich n tatsächlich ungeschränkte Bereichswahrscheinlichkeiten sowie Werte und Quantile der Standardnormalverteilung berechnet werden.

Wie oben erwähnt, konvergiert f(x)=a/(c·x²+1)^d mit c=e^1/(2d)−1 für d → ∞ gegen φ(x)=a·e^−x²/2. Das kann man hier studieren. Der Exponent d kann per oder Direkteingabe verändert werden; für letzteres einfach auf den Funktionsterm klicken. − Also: f(x) = a/(c*x²+1)² mit c=e^1/(2·2)-1 und a=1/√(2π) dazuplotten