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Interaktive Veranschaulichung des Hypothesentests

Der sogenannte Hypothesentest beruht darauf, für eine gewisse angenommene oder gegebene Zufallsverteilung die Wahrscheinlichkeit eines Bereiches von Werten der Zufallsvariablen zu betrachten, bei deren Eintreten die Hypothese (d.h. die Annahme der Gültigkeit dieser Zufallsverteilung) abgelehnt wird, weil sie irgendwie zu sehr vom Erwartungswert abweichen. (Es liegt gerade die Schwierigkeit bzw. das Anliegen darin, dieses irgendwie zu sehr zu konkretisieren.)

Man kann diesen sogenannten Ablehnungsbereich vor einem Testexperiment (a priori) konstruieren, indem man ihm nur noch eine maximale Wahrscheinlichkeit zuweist, die dann gleichzeitig die maximale Fehlerwahrscheinlichkeit ist. (Denn natürlich kann man, auch wenn die angenommene Verteilung gilt, zufällig Ergebnisse bekommen, die stark vom Erwartungswert abweichen. Je weiter, desto unwahrscheinlicher, aber eben nie völlig ausgeschlossen.) Man bestimmt also a priori einen Ablehnungsbereich am Rand oder an den Rändern des möglichen Bereichs [0; n] mit einer Bereichswahrscheinlichkeit gerade noch unter dem zulässigen Höchstwert. Man nennt diese mehr oder weniger willkürlich festgelegte maximale Fehlerwahrscheinlichkeit, d.h. die maximal zulässige Gesamtwahrscheinlichkeit aller Werte des Ablehnungsbereichs, das Signifikanzniveau und die tatsächliche Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs die Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art, die mit α bezeichnet wird.

Fehler 1. Art: Die Hypothese wird irrtümlich, d.h. zu Unrecht abgelehnt. Denn es trat zufällig ein Ergebnis aus dem Ablehnungsbereich auf, aber die infolgedessen abgelehnte Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt in Wirklichkeit trotzdem vor.

Natürlich kann man auch erst nach der Durchführung eines Zufallsexperiment finden, daß das Ergebnis zu stark vom Erwartungswert der angenommenen Wahrscheinlichkeitsverteilung abweicht, und daher Zweifel an der Gültigkeit der Verteilung hegen, die damit in den Rang einer nurmehr hypothetischen Verteilung kommt. Da noch stärkere Abweichungen umso größere Zweifel bewirken würden, betrachtet man die Gesamtwahrscheinlichkeit aller dieser Fälle (ab dem tatsächlich passierten), die dann zusammen den Ablehnungsbereich bilden. Der Ablehnungsbereich wird hier also erst nach der Durchführung des Experiments (a posteriori) durch das verdächtige Ergebnis festgelegt, das gerade dessen Grenze bildet. Seine Wahrscheinlichkeit ist dann die Untergrenze aller möglichen Signifikanzniveaus, unter denen die Hypothese noch angenommen werden kann, und seine tatsächliche Wahrscheinlichkeit ist wieder die Wahrscheinlichkeit α des Fehlers erster Art.

Auf dieser Seite können zu quasi beliebigen Binomialverteilungen (bis n=50.000) Histogramme gezeichnet werden. (Oberhalb von n=20000 ist die numerische Eingabe per Tatsatur im zugehörigen Eingabefeld erforderlich.) Ablehnungsbereiche können entweder per Signifikanzniveau, über die Sigma-Umgebungen oder manuell per Mausklick festgelegt werden, jeweils links-, rechts- oder beidseitig. Die per Maus festgelegten Bereiche bleiben bei Änderung von p erhalten; so sind auch Bewertungen von Alternativen möglich. (Alternativhypothesen können besser →hier studiert werden.) Die Bereichswahrscheinlichkeiten werden optional direkt in der Graphik angezeigt. Unten auf der Seite werden jeweils alle relevanten Bereichswahrscheinlichkeiten tabelliert. Für die Berechnung beliebiger Bereichswahrscheinlichkeiten gibt es ein Eingabefeld. Ein interaktiver Vergleich mit der (hier an die Binomialverteilung angepaßten) Normalverteilung ist ebenfalls möglich.

© Arndt Brünner, 31. 1. 2019
Version: 27. 9. 2020
manuelle p-Skalierung: 4. 12. 2022