Das Heron-Verfahren zur Wurzelberechnung

→ Verallgemeinerung des Verfahrens auf beliebige Wurzeln

Heron von Alexandria war ein griechischer Mathematiker und Mechaniker der 2. Hälfte des 1. Jahrhunderts nach Christus. Ihm wird folgendes Verfahren zur Approximation von Quadratwurzeln zugeschrieben:

Es wird die (positive) Quadratwurzel b der gegebenen (positiven) Zahl a gesucht. Man fängt mit einem geeigneten Startwert für b an — im Grunde kann das jede positive Zahl sein.

Es gibt drei Möglichkeiten:

b =

b <

b >

Herons Idee folgt aus der Überlegung, daß sich der Bruch jeweils entgegengesetzt verhält:

Falls nämlich b = , dann ist b² = a und es gilt:

, da

Wenn der Nenner größer wird, verkleinert sich der Wert des Bruchs, und umgekehrt:

b =	⇒	=

b <	⇒	>

b >	⇒	<

Noch deutlicher wird das, wenn man sich anstelle von a das Produkt √a·√a denkt.

Der Mittelwert aus b und a/b liegt viel näher an √a als b und a/b selbst. Führt man dann mit dieser bessere Näherung wieder dasselbe Verfahren durch und mit dieser ein weiteres mal und so fort, so nähert man sich sehr schnell, d.h. in wenigen Schritten dem exakten Wert der Quadratwurzel.
Bei negativen Startwerten nähert sich der Heron-Algorithmus der negativen Quadratwurzel.

für a = mit Startwert b =

Die Visualisierung des Heron-Algorithmus mit den eingegebenen Zahlen erfolgt im unteren Fensterteil — bitte gegebenenfalls zunächst Trennlinie nach oben ziehen, um das untere Fenster zu vergrößern. Sie können auch hierauf klicken, um die Fenster passend anzuordnen.

Der Heron-Algorithmus mit Brüchen

Drückt man die Näherung b für √a mit dem Bruch m/n aus, so läßt sich die nächstbessere Näherung angeben mit:

Somit findet man den jeweils nächsten Bruch mit:

Das Script verdeutlicht in den Beispielen auch dieses Verfahren numerisch, allerdings nur soweit Zähler und Nenner nicht die Grenze von 10¹⁸ überschreiten.

Verallgemeinerung auf beliebige Wurzeln

Der rekursive Heron-Algorithmus für die Quadratwurzel x→(x+a/x)/2 ist äquivalent zum Newtonalgorithmus x→x-f(x)/f'(x) zur Bestimmung der Nullstellen für die Funktion f(x)=x²-a. Diese Nullstellen sind natürlich → ± ²√a. Mit der Ableitung f'(x)=2x erhält man x → x - f(x)/f'(x) = x - (x²-a)/(2x) = (x + a/x)/2.

Für die n-te Wurzel hieße die entsprechende Funktion, deren Nullstellen die gesuchten Wurzeln sind, analog f(x)=xⁿ-a. Man erhält dann: x → x - (xⁿ-a)/(n·x^n-1) = ((n-1)·x + a/x^n-1)/n

Im Falle der Kubikwurzel findet man also, ausgehend von der Näherung b, eine bessere Näherung mit

		-te Wurzel von		mit dem Startwert