Auf dieser Seite befindet sich ein Applet, mit dem das Newtonverfahren schrittweise an beliebigen Funktionen durchgeführt und graphisch vorgeführt wird.
Die Idee von Newtons Verfahren besteht darin, daß Funktionen in kleinen Bereichen gut durch ihre Tangenten angenähert werden. Wenn man von einer Stelle aus eine benachbarte Nullstelle auffinden möchte, so schaut man, wo die Tangente an den Graphen an der betreffenden Stelle eine Nullstelle hat, und verwendet dann diese Nullstelle als nächste Näherung. Der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse ist leicht zu berechnen, wenn man den Funktionswert und die Steigung der Tangenten kennt. Diese wird gegeben durch die erste Ableitung der Funktion, die auch numerisch gut angenähert werden kann.
Da die Tangente im Punkt f(x0) die Steigung f'(x0) besitzt, ist ihre Nullstelle x1 um f(x0)/f'(x0) von x0 entfernt. Die Nullstelle liegt rechts von x0, wenn f'(x0) negativ und f(x0) positiv ist oder umgekehrt; wenn jedoch f und f' das selbe Vorzeichen besitzen, also der Quotient positiv ist, dann liegt die Nullstelle links von x0. Damit findet man die nächste Näherung x1 mit x0 - f(x0)/f'(x0). Allgemein ist die Rekursionsvorschrift
f(xi)
xi+1 = xi - ——————
f'(xi)
Abhängig von der Wahl günstiger Startwerte können so Nullstellen stetiger Funktionen beliebig genau angenähert werden. (In diesem Script etwa |f(x)|<10-10.) Anhand der unten abrufbaren Beispiele kann man sehen, in welchen Situationen der Algorithmus versagt, über Umwege oder schnell zum Erfolg führt.
Geben Sie in den entsprechenden Eingabefeldern eine Funktion und einen Startwert für x an. Klicken Sie dann auf den Animations-Button. Sie können u.a. festlegen, ob das Programm automatisch weitersucht, bis eine Nullstelle hinreichend genau gefunden wurde, oder die Einzelschritte manuell durchführen. Die Animationen können jederzeit unterbrochen werden. Der dargestellte Bereich wird automatisch dynamisch eingestellt; das Skalierungsverhältnis der Achsen bleibt jedoch konstant. Es kann gleichwohl manuell angepaßt werden, was bei höhergradigen Polynome, für die sich das Verfahren besonders eignet, meist ratsam ist. Das Plotterfenster besitzt dieselben Zoom und Ziehfunktionen wie der →Funktionsplotter.
© Arndt Brünner, 16. 8. 2003 — Version: 1. 9. 2003
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