Hinweis

Der Rechner sollte mir zunächst zum Testen einer Javascript-Klasse für Komplexe Zahlen dienen, die alle mathematischen Funktionen als Klassenmethoden zur Verfügung stellt. Das UPN-Verfahren bot sich nicht ohne Grund an, einen solchen Rechner ohne großen Programmieraufwand zu implementieren; schließlich wurde die Notation aus diesen Gründen heraus geboren. Ich kann mich noch gut an meinen ersten größeren Taschenrechner erinnern, einen programmierbaren hp65, der heute noch seine Dienste tut, wenn er auch partout die Magnetkarte mit meinem Mondlangungssimulator nicht mehr durchziehen will. Mein erstes Programm!

Nun habe ich jedoch weniger Zeit darauf verwendet, das eigentliche Rechnen im Bereich der komplexen Zahlen zu testen, als die Oberfläche so hinzubekommen, daß Netscape und der MS-IE-Explorer die Sache einigermaßen gut und vor allem ähnlich anzeigen. Das mit den verschiedenen Browsern und den Kleinkriegen ihrer Firmen ist wirklich absolut ärgerlich!!!

Falls jemand Fehler in der Berechnung oder der Implementation des UPN-Systems findet, bitte per eMail berichten. Jedenfalls übernehme ich keine Gewähr für irgendwas.

Umgekehrte polnische Notation (UPN)

Die umgekehrte polnische Notation war Standard bei den ersten Generationen anspruchsvollerer Taschenrechner. Sie bietet auch heute noch den Vorteil der direkten Berechenbarkeit komplizierterer, zusammengesetzter Rechenausdrücke.

Der wesentliche Unterschied zum heute üblichen System ist das Fehlen einer [=]-Taste. Dafür erscheint hier eine [Enter]-Taste, die es auf heutigen Taschenrechnern in aller Regel nicht gibt.

Wenn man zwei Zahlen miteinander verrechnen will, muß man sie bei der UPN direkt nacheinander eingeben, wobei nach der ersten Zahl [Enter] gedrückt wird. Danach gibt man die Rechenoperation an. Die Rechnung 5+4 gibt man so ein: 5 [Enter] 4 [+].

Durch Betätigen der Enter-Taste wird die eingegebene Zahl auf den sogenannten Stack (=Stapel) gelegt, von dem sie in umgekehrter Reihenfolge (bildlich gesehen "von oben") wieder heruntergenommen wird, wenn die gewählte Operation das erfordert.

Eine Kettenaddition wie, 3+4+5+6+7, berechnet man so: 3 [Enter] 4 [+] [Enter] 5 [+] [Enter] 6 [+] [Enter] 7 [+]. Es geht auch anders, aber dazu später.

Ein heutiger Taschenrechner berücksichtigt meist automatisch die Punkt-vor-Strich-Rechnung, d.h. bei der Eingabe von 3+4*5 würde er nicht 35 anzeigen (der Reihe nach berechnet 3+4=7, 7*5=35), sondern richtig 23 (=3+(4*5)). Will man den ersten Fall berechnen, muß man Klammertasten verwenden oder zwischendurch (nach 3+4) bereits [=] drücken.

Bei der UPN berechnet man 3+4*5 so: 3 [Enter] 4 [Enter] 5 [*] [+]. Man kann sich vorstellen, daß die mit [Enter] eingegebenen Zahlen auf einen Stapel abgelegt werden, von dem sie in umgekehrter Reihenfolge heruntergenommen werden. Nach Eingabe von 3 und 4 liegt die 4 oben und wird zuerst wieder heruntergeholt.
Die Rechnung (3+4)*5 gibt man so ein: 3 [Enter] 4 [+] [Enter] 5 [*]

Da alle eingegebenen Zahlen auf den Stapel wandern, der hier maximal 16 Zahlen speichern kann, könnte man die Summe 3+4+5+6+7 auch so berechnen: 3 [Enter] 4 [Enter] 5 [Enter] 6 [Enter] 7 [+] [+] [+] [+]. Man fragt sich vielleicht, wo hier der eigentliche Vorteil sein soll.

Der Vorteil wird erst erkennbar, wenn man umfangreiche, geklammerte Ausdrücke berechnen will, z.B. (6+11)/(3*sin(0,1^e)-7):
6 [Enter] 11 [+] [Enter] 3 [Enter] 0,1 [Enter] [e] [y^x] [sin(x)] [*] [Enter] 7 [-] [/]

Wenn man sich daran gewöhnt hat, einfach die Funktionstasten in dem Moment zu drücken, wo sie "fällig" sind, kann man mit diesem System schnell und sicher arbeiten.

Die Taste [x<->y] vertauscht die beiden letzten Zahlen auf dem Stapel. Das kann in Notfällen hilfreich sein, z.B. wenn man das Ergebnis einer Berechnung im nächsten Schritt als Exponent benötigt: 2^5·√(-2)+3
5 [Enter] 2 [+-] [sqr(x)] [Enter] 3 [+] [Enter] 2 [x<->y] [y^x]
x steht immer für die oberste Zahl auf dem Stapel, d.h. die in der Anzeige, und y für die nächste. Das Betätigen von [x<->y] holt das letzte Ergebnis wieder aus der Versenkung, indem es mit der zuletzt eingegebenen 2 vertauscht wird.

Nach Drücken der Enter-Taste wandert die eingegebene Zahl auf den Stapel, bleibt aber zudem solange im Display, bis der reelle Anteil überschrieben wird. Sie kann daher weiterverwendet werden, etwa zur Berechnung von 2·√2 mit 2 [Enter] [sqr(x)] [*].

Script zum Umwandeln eines Termes in die UPN

Term in normaler Schreibweise eingeben (ohne imaginäre Zahlen, komplexe Rechenfunktionen und Konstanten)

Erläuterung der Funktionstasten

• Enter legt eingegebene Zahl auf den Stack (siehe oben)
• C löscht die letzte Eingabe, CC löscht alles, R restauriert einmalig Zustand vor letzter Operation.
• x<->y vertauscht die obersten Stapelwerte.
• im liefert den imaginären Anteil der Zahl (und löscht den reellen), re liefert den reellen Anteil, cj. die konjugierte komplexe Zahl (imaginärer Anteil wechselt das Vorzeichen)
• sqr(x): Quadratwurzel, xqr(y): x-te Wurzel von y. Die dritte Wurzel von 42,875 berechnet man so: Eingabe: 42,875 [Enter] 3 [xqr(y)]
  Bitte beachten, daß es stets noch eine negative Wurzel gibt, die nicht angezeigt wird.
• | x |: Betrag der komplexen Zahl x; entspricht sqr(re²+im²)
• y^x: x-te Potenz von y: y^x. Zur Berechnung von (5+2î)^(4,5-î) sind folgende Eingaben nötig: 5 [TAB] 2 [Enter] 4,5 [TAB] -1 [y^x]
• 10^x: x-te Potenz von 10
• exp(x): Exponentialfunktion e^x
• e^îx: exp(x·î) = e^x·î = cos(x)+î·sin(x)
• arg(x): "Phase" von x. Liefert den Winkel zwischen der reellen Achse und dem Ortsvektor zu (re(x)|im(x)).
  Bereich: 0 ≤ arg(x) < 2π. Reeler Anteil der Umkehrfunktion von e^x·î
• log(x): natürlicher Logarithmus von x, log10(x): dekadischer Logarithmus (zur Basis 10)
• logx(y): Logarithmus zur Basis x. Zur Berechnung von log₃(-1,125+5,75î) sind folgende Eingaben nötig: -1,125 [TAB] 5,75 [Enter] 3 [logx(y)]
• sin(x), cos(x) und tan(x) sind die trigonometrischen Funktionen sowie asin(x), acos(x) und atan(x) deren Umkehrfunktionen. Berechnet wird im Bogenmaß (rad). Umrechnung ins Gradsystem und zurück mit den Funktionstasten rad->grad und grad>-rad. (Diese "Umrechnungsfunktionen" multiplizieren/dividieren die Zahl jeweils stupide mit dem Umrechnungsfaktor π/180, schalten aber keinen "Modus" um, so daß man auch schon "umgewandelte" Zahlen immer weiter "umwandeln" kann.)
• cot(x), sec(x) und csc(x) sowie acot(x), asec(x) und acsc(x) sind die trigonometrischen Funktionen Kotangens, Sekans und Kosekans mit ihren Umkehrfunktionen.
• sinh(), cosh(), tanh(), coth(), sech() und csch() sind die zugehörigen hyperbolischen Funktionen
• STO: Speichern des aktuellen Werts (Eingabe der Speichernummer erfolgt in Dialogfenster), RCL ruft einen Speicherinhalt ab, CLM löscht einen Speicherinhalt. Insgesamt stehen 16 Speicher zur Verfügung.
• pi, e, pi·î, φ, 1/φ, e·î und î tragen diese Konstanten ein.
  φ und 1/φ sind major und minor des goldenen Schnittes.
• Runden4 bis Runden14: Runden der Zahlen auf die angegebene Stellenzahl.