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Darstellung von Polynom-Nullstellen in der Gaußschen Zahlenebene

Ohne Java kein Applet

 

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Mit den Schiebereglern können die Koeffizienten eines Polynoms maximal 24. Grades zwischen eingestellt und verändert werden.

Das Applet berechnet augenblicklich die Nullstellen des Polynoms und zeigt sie in der Gaußschen Zahlenebene an. Die x-Achse entspricht dem reellen Anteil der Zahl und die y-Achse dem imaginären. Die reellen Nullstellen liegen also alle auf der x-Achse.

Nach dem von Carl Friedrich Gauß zuerst bewiesenen Fundamentalsatz der Algebra haben Polynome vom Grade n stets n Nullstellen innerhalb der Menge der komplexen Zahlen, die jedoch auch zusammenfallen können. Komplexe Nullstellen treten immer als zueinander konjugierte Paare auf, d.h. jeweils zwei von ihnen besitzen den gleichen reellen und einen nur durchs Vorzeichen unterschiedenen imaginären Anteil. Die graphische Darstellung ist infolgedessen stets symmetrisch zur x-Achse.

Der Darstellungsbereich wird entweder dynamisch angepaßt oder kann auf einen Bereich fest eingestellt werden. Mit den [0]-Buttons können die Parameter auf Null zurückgestellt werden. Mit dem Spurmodus können die "Bahnen" der Nullstellen sichtbar gemacht werden. Außerdem können Kreise um den Nullpunkt durch die Nullstellen erzeugt werden, um die Beträge der Zahlen vergleichen zu können. Einheitswurzeln liegen ja z.B. alle auf dem Einheitskreis.

Man beachte die Geschwindigkeit der Nullstellenberechnung! Allgemeine Lösungsformeln existieren bekanntlicherweise nur bis zu Polynomen einschließlich 4. Grades. Hier kommt der komplexe Newton-Algorithmus zum Zuge nebst Polynomdivisionen durch (x - ξ) bei allen reellen Nullstellen ξ, bzw. durch (x² - 2ρx + ρ² + λ²) bei allen gefundenen komplexen Nullstellenpaaren ρ ± λ·î.
Ohne dieses Applet besonders loben oder ein sehr probates Mathematikprogramm herabwürdigen zu wollen: Derive 5 benötigt zur Approximierung der Nullstellen eines Polynoms 15. Grades in der Regel mehr als eine halbe Minute... (Eigentlich sonderbar!) Die Geschwindigkeit geht allerdings zu Lasten der Genauigkeit, sodaß die Ausgabe der Zahlen auf 8 Dezimalen gerundet wird. Dort wird für jede (gerundete) Nullstelle eine Probe durchgeführt; wenn das Ergebnis mehr als ein Tausendstel von Null abweicht, wird das in der Ausgabe angezeigt. Das passiert in der Regel bei Nullstellen, deren Betrag stark von den Beträgen der übrigen abweicht. Mit einer Genauigkeit von 15 Stellen können Polynom-Nullstellen → hier berechnet werden. Bei hochgradigen Polynomen werden manchmal nicht alle Nullstellen gefunden, auch wenn der Algorithmus bei Bedarf oftmals durchlaufen wird. Man sieht das am gelegentlichen zufälligen "Verschwinden" und "Wiedererscheinen" mancher Punkte auf ihrer "Bahn". Dieser Effekt läßt sich nicht (oder nur zufällig) an gleicher Stelle reproduzieren und beruht schon deshalb nicht auf einem mathematischen Phänomen, sondern daran, daß die Suche mit dem Newton-Algorithmus mit zufälligen Startwerten durchgeführt wird. Nicht alle (d.h.: sogar relativ wenige) führen zum Erfolg.


  Carl Friedrich Gauß

Version: 26. 4. 2003
© Arndt Brünner
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