Kugel durch vier Punkte

Ein Kreis ist durch drei unterschiedliche Punkte seines Bogens eindeutig festgelegt. (Siehe dazu diese Seite: Kreis durch 3 Punkte). Umgekehrt definieren drei unterschiedliche Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, einen eindeutigen Kreis. Dies gilt auch im Raum, denn drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen (nicht collinear) spannen eine Ebene auf, auf der dann der Kreis liegt. Man stelle sich nun drei solche Punkte im dreidimensionalen Raum vor und den durch sie gehenden Kreis.

Bei allen Kugeln, auf deren Oberflächen diese drei Punkte liegen, muß auch der Kreis auf der Kugelfläche liegen. Darüber hinaus liegen alle Mittelpunkte der Kugeln, die man zu dem Kreis bilden kann, auf einer Senkrechten zum Kreis durch dessen Mittelpunkt.

Durch einen einzigen zusätzlichen, also einen vierten Oberflächenpunkt ist die Kugel festgelegt, wie man sich leicht vorstellen kann. Allerdings darf dieser Punkt nicht in der Ebene des Kreises liegen: Entweder liegen die Punkte dann alle auf einem Kreis, dann ist die Kugel nicht eindeutig definiert, oder sie liegen nicht auf einem Kreis, dann gibt es keine entsprechende Kugel.

Für vier gegebene Punkte läßt sich also genau dann eine Kugel finden, auf deren Oberfläche die Punkte liegen, wenn sie alle verschieden sind, wenn nicht drei von ihnen auf einer Geraden liegen und nicht alle vier in einer Ebene.

Alle Punkte auf der Kugeloberfläche haben vom Mittelpunkt denselben Abstand r. Nach Pythagoras gilt der Zusammenhang

     r = √(x² + y² + z²)
bzw. r² = x² + y² + z²

Wenn der Ursprung des Koordinatensystems der Mittelpunkt des Kreises ist, geben die Koordinaten die Richtungskomponenten des Abstands vom Mittelpunkt an. Der Punkt (2|4|5) besitzt nach Pythagoras den Abstand √(2² + 4² + 5²) vom Mittelpunkt, also r = √(4 + 16 + 25) = √45 ~ 6,70820393249937

Eine Kugel mit dem Radius 8 um den Ursprung des Koordinatensystems besitzt also die Gleichung

x² + y² + z² = 64

Ist die Kugel verschoben, d.h.: liegt ihr Mittelpunkt nicht im Ursprung, so lassen sich die neuen Verhältnisse auf diese Gleichung zurückführen, indem man die komponentenweisen Differenzen zwischen den Koordinaten der Oberflächenpunkte und den Koordinaten des Mittelpunktes in "den Pythagoras" einsetzt:

(x - x_m)² + (y - y_m)² + (z - z_m)² = r²

Wenn man die Klammern auflöst, erhält man:

x² - 2·x·x_m + x_m² + y² - 2·y·y_m + y_m² + z² - 2·z·z_m + z_m² = r²

Finden einer Kugel durch vier Punkte

Zu vier gegebenen Punkten soll nun der Mittelpunkt und der Radius der zugehörigen Kugel ermittelt werden. Hierzu werden in der letzten Gleichung die Terme mit den unbekannten Größen (x_m, y_m, z_m und r) auf die linke Seite und alle anderen Terme auf die rechte Seite gebracht:

x² - 2·x·x_m + x_m² + y² - 2·y·y_m + y_m² + z² - 2·z·z_m + z_m² = r²

x_m² + y_m² + z_m² - r² - 2·x_m·x - 2·y_m·y - 2·z_m·z = -(x² + y² + z²)

Wenn man nun setzt: A:= x_m² + y_m² + z_m² - r², B:= -2·x_m, C:= -2·y_m und D:= -2·z_m, ergibt sich:

A + B·x + C·y + D·z = -(x² + y² + z²)

Da jeweils vier Paare für x, y und z bekannt sind und vier Unbekannte (A, B, C und D) vorliegen, läßt sich ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen aufstellen, mit dem man A, B, C und D ermitteln kann:

A + B·x₁ + C·y₁ + D·z₁ = -(x₁² + y₁² + z₁²)
A + B·x₂ + C·y₂ + D·z₂ = -(x₂² + y₂² + z₂²)
A + B·x₃ + C·y₃ + D·z₃ = -(x₃² + y₃² + z₃²)
A + B·x₄ + C·y₄ + D·z₄ = -(x₄² + y₄² + z₄²)

Wenn man soweit ist, also A,B,C und D ermittelt hat, erhält man x_m = -B/2, y_m = -C/2, z_m = -D/2 und schließlich r² = x_m² + y_m² + z_m² - A

Beispiel

Es soll die Kugel gefunden werden, die durch die Punkte (-11|30,8|52,4); (30|29|-46); (38|26,6|46,8) und (-34|-27|50) geht.

Mit A:= x_m² + y_m² + z_m² - r², B:= -2·x_m, C:= -2·y_m und D:= -2·z_m erstellen wir zu den vier Punkten jeweils eine Gleichung A + B·x + C·y + D·z = -(x² + y² + z²):

A - 11·B + 30,8·C + 52,4·D = -3815,4
A + 30·B + 29·C - 46·D = -3857
A + 38·B + 26,6·C + 46,8·D = -4341,8
A - 34·B - 27·C + 50·D = -4385

Die zugehörige Koeffizientenmatrix heißt:

	1	-11	30,8	52,4	-3815,4
	1	30	29	-46	-3857
	1	38	26,6	46,8	-4341,8
	1	-34	-27	50	-4385

Durch geeignete Zeilenumformungen erhält man:

	1	0	0	0	-4147
	0	1	0	0	-10
	0	0	1	0	14
	0	0	0	1	-4

und somit A = -4147, B = -10, C = 14 und D = -4, woraus sich ergibt:
 
x_m = -B/2 = 5
y_m = -C/2 = -7
z_m = -D/2 = 2
 
r² = x_m² + y_m² + z_m² - A = 25 + 49 + 4 - (-4147) = 4225
r = √4225 = 65

Die Kugel hat also den Mittelpunkt (5|-7|2) und den Radius 65.