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Lineare Funktionen

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Was ist eine lineare Funktion?

Im Begriff Lineare Funktion stecken die beiden Begriffe linear und Funktion, die im folgenden zunächst erklärt werden. Wer schon Bescheid weiß, kann den Abschnitt überspringen und womöglich sofort zu den Übungen springen.

Standardschreibweise  •   Bedeutung der Parameter  •   Beispiele  •   Übungen

  1. Eine Funktion ist eine Zuordnung. Durch eine festgelegte Regel wird einer Zahl eine andere zugeordnet. Dies ist ein wenig abstrakt formuliert. Aber es steckt viel weniger dahinter, als man befürchten kann: Die Regel sagt nämlich, wie man die zugeordnete Zahl ausrechnen kann.

    Funktionen werden meist in dieser Art gegeben:

    f(x) = 0,75x2 - 5x + 0,5

    Der Name der Funktion ist f. Das eingeklammerte x nach dem Funktionsnamen gibt an, mit welcher Variablen die Funktionsdefinition rechts vom Gleichheitszeichen arbeitet. Genausogut könnte man dieselbe Funktion mit f(a) = 0,75a2 - 5a + 0,5 beschreiben.

    Mit einer solchen Funktionsgleichung kann nun berechnet werden, welche Zahlen einander zugeordnet werden. Man setzt eine Zahl für die Variable ein, und zwar überall dort, wo die Variable im Funktionsterm vorkommt, berechnet den Term, der jetzt nur noch aus Zahlen besteht, und erhält so die zugeordnete Zahl, den Funktionswert der eingesetzten Zahl. Der Funktionswert von 4 ist zum Beispiel: 0,75·42 - 5·4 + 0,5 = 0,75·16 - 20 + 0,5 = 12 - 20 + 0,5 = -7,5. Man schreibt auch f(4) = -7,5. Der 4 wird durch die Funktion f der Funktionswert -7,5 zugeordnet.

    So kann man (bei dieser Funktion) für jede beliebige Zahl einen Funktionswert berechnen.

    Es gibt Funktionen, die nicht jeder Zahl einen Funktionswert zuordnen, z.B. hat f(x) = 1/x keinen Funktionswert für x=0, da die Division durch Null nicht möglich ist. Man sagt, die Funktion ist an dieser Stelle nicht definiert.

    Durch das Ausrechnen entstehen Wertepaare zwischen eingesetzter und ausgerechneter Zahl. Man kann so eine Wertetabelle erstellen und den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem zeichnen. Die eingesetzten Werte entsprechen der horizontalen Koordinate und die ausgerechneten Funktionswerte der vertikalen Koordinate, also dem jeweiligen Abstand zur x-Achse. Jedem Wertepaar entspricht so ein Punkt im Koordinatensystem. Den oben berechneten Punkt (4|-7,5) trägt man ein, indem man vom Ursprung (Schnittpunkt der beiden Achsen) 4 Einheiten nach rechts geht und 7,5 nach unten ("-7,5 nach oben").

    Der Funktionsgraph von f(x) = 0,75x2 - 5x + 0,5 sieht so aus: (Der Punkt (4|-7,5) ist rot markiert.)


     
     
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  2. Der Begriff linear leitet sich von lateinisch linea = "Leine, Schnur, Faden" ab. Der Graph einer solchen Funktion ist wie mit einer "gespannten Leine" gezeichnet, es ist also eine Gerade.

    Wie muß nun ein Funktion beschaffen sein, daß der Funktionsgraph eine Gerade wird?

    Wenn man die eingesetzten Werte mit gleichbleibenden Schritten erhöht (oder vermindert), müssen sich auch die Funktionswerte immer um gleichbleibende Schritte erhöhen (oder vermindern). Nur so ergibt sich ein absolut glatter "Kurven"-Verlauf.

    Das ist immer genau dann der Fall, wenn im (vollständig vereinfachten) Funktionsterm das x nur ohne Exponent und nicht im Nenner vorkommt. Ein Faktor vor dem x gibt an, wie stark die Funktionswerte zunehmen, wenn x größer wird.

    1. Beispiel: f(x) = 2x
    Immer wenn sich das x um 1 erhöht, erhöhen sich die Funktionswerte um 2, denn das x wird ja mit 2 multipliziert und jede Änderung von x geht also doppelt in das Resultat ein: f(5,5) = 11 und f(6,5) = 13.

    2. Beispiel: f(x) = 3x - 5
    Immer wenn sich das x um 1 erhöht, erhöhen sich die Funktionswerte um 3, denn das x wird mit 3 multipliziert und jede Änderung von x geht dreifach in das Resultat ein. Das ist auch so, wenn jeweils 5 abgezogen wird: f(5,5) = 3·5,5 - 5 = 16,5 - 5 = 11,5 und f(6,5) = 3·6,5 - 5 = 19,5 - 5 = 14,5.

    3. Beispiel: f(x) = -1,5x + 7
    Immer wenn sich das x um 1 erhöht, vermindern sich die Funktionswerte um 1,5, denn das x wird im Funktionsterm mit -1,5 multipliziert und jede Änderung von x sorgt dafür, daß sich das Resultat um das Anderthalbfache der Änderung vermindert. Wieder ändert die Addition von 7 nichts daran: f(5,5) = -1,5·5,5 + 7 = -8,25 + 7 = -1,25 und f(6,5) = -1,5·6,5 + 7 = -9,75 + 7 = -2,75.

    Man sieht also am Faktor vor dem x, wie stark sich die y-Werte verändern. Geht man im Graph einer linearen Funktion von einem beliebigen Punkt auf der Geraden um 1 nach rechts, so muß man um genau diesen Faktor nach oben gehen, um zum Graphen zurückzukehren. Falls der Faktor negativ ist, muß man nach unten gehen. Diese waagerechte und senkrechte Strecken ergeben zusammen mit dem Abschnitt der Geraden ein Dreieck, das man Steigungsdreieck nennt.

    Den Faktor vor dem x nennt man dementsprechend Steigung. An ihm erkennt man, wie stark die Gerade steigt (oder fällt, falls er negativ ist).

    Falls der Faktor 0 ist, d.h. wenn gar kein x vorkommt, so ist die Gerade genau horizontal. Das ist auch logisch, denn im Funktionsterm kommt gar kein x mehr vor, und beim Ausrechnen erhält man somit immer denselben Wert. Z.B. bei f(x) = -5 kommt immer -5 heraus, egal was man für x "einsetzt".

Standardschreibweise

Die Standardschreibweise linearer Funktionen sieht wie die obigen Beispiele aus. Nach dem x, vor dem ein Faktor oder nur ein Minus (-x für -1·x) stehen kann, kommt nur noch ein Summand, der aus einer konstanten positiven oder negativen Zahl besteht.
Man schreibt allgemein:

f(x) = m·x + b

m ist dabei die oben erwähnte Steigung und b der Summand. Beide Buchstaben stehen für konkrete Zahlen im Term und haben somit eine andere Bedeutung als das x!

Wenn man in den Term m·x + b für x Null einsetzt, so erhält man immer b, denn m·0 + b = 0 + b = b. Im Koordinatensystem ist das der Schnittpunkt mit der y-Achse, denn dort ist x=0. Man kann also an dem Summanden im Funktionsterm direkt ablesen, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet!

Bedeutung der Parameter

Der Faktor vor dem x (in der allgemeinen Schreibweise das m), gibt die Steigung der Geraden an. Die einzelne Zahl, der Summand ohne x (in der Standardschreibweise das b), gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

Beispiele

Zu jedem Beispiel gibt es einen Graphen, in dem jeweils Steigungsdreiecke eingezeichnet sind.


 
 
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f(x) = 3x - 7

Der Graph dieser linearen Funktion schneidet die y-Achse bei -7. Die Steigung der Geraden ist 3, d.h. immer wenn x um 1 größer wird, erhöht sich y um 3. Zum Zeichnen einer Geraden reichen zwei Punkte. Man zeichnet also (0|-7), den Schnittpunkt mit der y-Achse, ein, und findet einen weiteren Punkt , indem man vom ersten Punkt aus treppenweise ein paarmal um 1 nach rechts und um 3 nach oben geht.
Zum Beispiel um insgesamt 5 nach rechts und um insgesamt 15 (=3·5) nach oben. So kommt man zu (5|8).

 



 
 
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f(x) = -x + 1

Der Graph dieser linearen Funktion schneidet die y-Achse bei +1. Die Steigung der Geraden ist -1, d.h. immer wenn x um 1 größer wird, vermindert sich y um 1. Zum Zeichnen einer Geraden reichen zwei Punkte. Man zeichnet (0|1), den Schnittpunkt mit der y-Achse, ein und findet einen weiteren Punkt, indem man vom ersten Punkt aus treppenweise ein paarmal um 1 nach rechts und um 1 nach unten geht.
Zum Beispiel um insgesamt 7 nach rechts und insgesamt um 7 nach unten. So kommt man zu (7|-6).

 



 
 
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        2
f(x) =  — · x  -  3,5
        3

Der Graph dieser linearen Funktion schneidet die y-Achse bei -3,5. Die Steigung der Geraden ist 2/3, d.h. immer wenn x um 1 größer wird, erhöht sich y um 2/3. Man zeichnet wieder zunächst (0|-3,5), den Schnittpunkt mit der y-Achse, ein.
Einen weiteren Punkt findet man in diesem Fall (Bruch!) zweckmäßigerweise, indem man vom ersten Punkt aus treppenweise ein paarmal um 3 (=Nenner der Steigung) nach rechts und um 2 (=Zähler der Steigung) nach oben geht. Z.B. um insgesamt 6 nach rechts und insgesamt um 4 nach oben. So kommt man zu (6|0,5).

 



 
 
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         5
f(x) = - — · x 
         7

Der Graph dieser linearen Funktion schneidet die y-Achse im Ursprung (0|0), denn es fehlt der Summand b im Funktionsterm. Somit ist b=0.
Die Steigung der Geraden ist -5/7, d.h. immer wenn x um 1 größer wird, wird y um 5/7 kleiner. Man zeichnet zunächst im Ursprung (0|0) den Schnittpunkt mit der y-Achse ein.
Einen weiteren Punkt findet man in diesem Fall (Bruch) zweckmäßigerweise, indem man vom ersten Punkt aus um 7 (=Nenner der Steigung) nach rechts und um 5 (=Betrag des Zählers der Steigung) nach unten (negative Steigung) geht. So kommt man zu (7|-5).

 



 
 
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f(x) = 2,7 
       

Der Graph dieser linearen Funktion verläuft horizontal, parallel zur x-Achse. Bei allen Werten für x ist der Funktionswert 2,7. Die Steigung ist m=0, und der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei b=2,7.

 



 
 
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Ausprobieren

Hier kann ein Funktionsterm eingegeben werden. Nach Klicken auf die Schaltfläche wird die Funktion gezeichnet.

f(x) =

 

Mit der Maus kann der dargestellte Ausschnitt verschoben werden (mit gedrückter Maustaste ziehen) und verkleinert oder vergrößert werden (Mausrad oder mit gedrückter rechter Maustaste ziehen). Das funktioniert auch bei den übrigen Beispielen auf dieser Seite!



 
 
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Die Gerade in diesem Koordinatensystem kann beliebig verschoben und gedreht werden. Dazu dienen die beiden roten Punkte, die mit der Maus an eine andere Stelle gezogen werden können. Im Textfenster wird der Funktionsterm der Geraden angezeigt:

f(x) =

Immer als Bruch

Die roten Punkte werden auf einem Raster mit folgenden Abständen gefangen:

Raster:

 
Auch hier kann der dargestellte Ausschnitt mit der Maus verschoben, verkleinert und vergrößert werden.

 


Üben

Auf der nächsten Seite kannst du üben, die Funktionsgleichung zu einer gegebenen Geraden im Koordinatensystem zu finden, und zu einer gegebenen Funktionsgleichung die entsprechende Gerade ins Koordinatensystem zu zeichnen. Mache dich aber besser vorher auf dieser Seite mit der Handhabung der Java-Applets vertraut.

→ Zu den Übungen

 


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© Arndt Brünner, 17. 8. 2002
letzte Änderung: 6. 10. 2002
Javascript-Version (für endlich wieder funktionierende interaktive Graphik): 1. 9. 2022