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Interaktive Übungen zum Verständnis linearer Funktionen

→ Erklärungen zu linearen Funktionen (alte Seite von 2002!, aber gut und ohne Java wieder brauchbar)
→ alte interaktive Übungen (dito!)

Lineare Funktionsterme verstehen und Geraden zeichnen

In diesem ersten Aufgabenblock wird unten eine lineare Funktion in der bekannten Form f(x) = m·x + b gegeben.

Im Koordinatensystem rechts kann die Gerade an den beiden dunkelblauen Punkten mit der Maus verschoben werden. Lege sie so, daß sie der Graph der gegebenen Funktion ist.

Hinweis: Die Punkte rasten jeweils im 0,5-Einheitenabstand ein. Man kann den Graphen (bzw. den dargstellten Bereich) auch komplett verschieben (einfach per Maus ziehen) und auch zoomen (Mausrad).

Außerdem sollen am Funktionsterm die Steigung m und der y-Achsenabschnitt b abgelesen und in die entsprechenden Eingabefelder eingetragen werden.

Die Nullstelle x0, die man ebenfalls eintragen soll, kann und muß normalerweise in Aufgaben ja meist berechnet werden. Einfacher ist es hier, sie am Graphen abzulesen, sobald die Gerade richtig im Koordinatensystem liegt, was man sofort an der veränderten Farbe der Geraden merkt. Falls keine Nullstelle existiert, dann / eintragen. Das Berechnen der Nullstelle kann man im folgenden Abschnitt üben.

Sobald alles korrekt ist, wird ein Button eingeblendet, mit dem eine neue Funktion erzeugt werden kann.

Wem diese Übung schwerfällt, sollte mit der →3. Abteilung anfangen!

 

Geg.: f(x) =


Ges.:  m= 
 b= 
x0=  
Graph  

Nullstellen berechnen

Gegeben wird eine lineare Funktion. Notiere immer zuerst den formalen Ansatz für die Nullstellenberechnung: f(x)=0.
Dann vergiß nicht, in die zweite Zeile die konkrete zu lösende Gleichung hinzuschreiben, d.h. Funktionsterm = 0.

Man kann (und sollte zur Übung) die jeweiligen Äquivalenzumforumgsschritte mit |... angeben.
Es empfiehlt sich, mit Brüchen zu rechnen, auch wenn der Funktionsterm mit Kommazahlen geschrieben sein sollte. (Den Schrägstrich / als Bruchstrich verwenden.)

 

Geg.: f(x) =

Ges.: Nullstelle

vorrechnen


Am Graphen einer linearen Funktion (also einer Geraden) die Funktionsgleichung ablesen


Gegeben ist: (links) der Graph einer linearen Funktion

 

Gesucht sind: deren...

Steigung:  m =  
y-Achsenabschnitt  b =  
Funktionsgleichung:  f(x) =  

Steigungsdreieck einzeichnen
... und beschriften

Das Steigungsdreieck kann an seinen beiden Enden auf der Gerade mit der Maus gepackt und verschoben bzw. vergrößert/verkleinert werden.

y-Achsen(ab)schnitt b bezeichnen

Wie üblich auf diesen Seiten kann auch hier der Graph (bzw. der Darstellungsbereich) mit der Maus verschoben und gezoomt werden.

→ neue Funktion


Eine Gerade durch zwei Punkte finden

Gegeben sind zwei Punkte A und B; gesucht ist die Gleichung einer linearen Funktion, auf deren Graph diese Punkte liegen, d.h. eine Gerade durch die beiden Punkte.

Man kann zur Hilfe und Veranschaulichung in der interaktiven Graphik rechts die beiden Punkte an die richtige Stelle (d.h. auf A und B) ziehen, sich das Steigungsdreieck anschauen und den y-Achsen-Schnittpunkt ablesen. Letztlich sollte diese Veranschaulichung aber dazu führen, daß man die Sache versteht und berechnen kann. Unterhalb kann daher die Berechnung mit zwei unterschiedlichen Verfahren schrittweise durchgeführt und geübt werden.

Steigungsdreieck zeichnen

 

Gegeben: A(), B()

Gesucht: f(x)= durch A und B.

 

Berechnen:
Allgemeine Form der linearen Funktion:f(x) = mx + b
(1)Berechne m (die Steigung):
m=  Δy 
 Δx 
=
  
  
=
(2)Setze m in die Funktionsgleichung ein:f(x) = ·x+b
(3)Setze die Koordinaten eines Punkts ein: = [m]· + b
(4)Löse nach b auf: = b
(5)Schreibe die Funktionsgleichung auf:f(x) =
 
Andere Methode (per Gleichungssystem):
  Berechne f(x)=mx+b durch die Punkte :
(1)Setze beide Punkte in f(x)=mx+b ein: (koordinatenweise je für x und f(x)=y) = ·m + b   (I)
= ·m + b   (II)
(2)Subtrahiere die Gleichungen voneinander:
(dadurch wird b eliminiert)
= ·m  (I-II oder II-I)
(3)Löse nach m auf: = m
(4)Setze m in (I) ein: = · + b
(5)Löse nach b auf: = b
(6)Schreibe f(x) = mx + b aus:f(x) =

© Arndt Brünner, 31. 8. 2022
Version: 19. 9. 2022