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Nullstellen von Polynomen in der komplexen Zahlenebene

Nach dem von Carl Friedrich Gauß zuerst bewiesenen Fundamentalsatz der Algebra haben Polynome vom Grade n stets n Nullstellen innerhalb der Menge der komplexen Zahlen, die jedoch auch zusammenfallen können. Komplexe Nullstellen treten immer als zueinander konjugierte Paare auf, d.h. jeweils zwei von ihnen besitzen den gleichen reellen und einen nur im Vorzeichen unterschiedlichen imaginären Anteil.

Das Programm dieser Seite berechnet augenblicklich die Nullstellen von Polynomen bis zum Grad 30 und zeigt sie in der Gaußschen Zahlenebene an. Die Polynomkoeffizienten können mit den Schiebereglern eingestellt und verändert werden, und man kann das Polynom eingeben.

Die x-Koordinate der Gaußschen Zahlenebene entspricht dem reellen Anteil der Zahl und die y-Koordinate dem imaginären. Die reellen Nullstellen liegen infolgedessen auf der x-Achse (d.h. der reellen Achse), und die graphische Darstellung ist stets symmetrisch zu dieser Achse.

Der Darstellungsbereich wird entweder dynamisch angepaßt oder kann auf einen Bereich fest eingestellt werden. Mit den [0]-Buttons können die Parameter auf Null zurückgestellt werden. Mit dem Spurmodus können die Bahnen der Nullstellen sichtbar gemacht werden. (Im Spurmodus bleibt der Bereich immer fest.) Außerdem können Kreise um den Nullpunkt durch die Nullstellen erzeugt werden, um die Beträge der Zahlen vergleichen zu können. Einheitswurzeln liegen ja z.B. alle auf dem Einheitskreis.

Optional kann der Verlauf der (komplexen) Newton-Nullstelleniteration x→x-f(x)/f'(x) angezeigt werden. Konvergiert es gegen eine Nullstelle, kann diese (und gegebenenfalls ihre komplex-konjugierte) per Mausklick eliminiert werden. (→ Polynomdivision durch (x-a) für die reelle Nullstelle x=a bzw. für das komplexe Nullstellenpaar x=a±bî durch (x²-2ax+a²+b²), das ist (x-a+bî)·(x-a-bî).)
Verläßt man mit der Maus das Plotfenster, wird die ursprüngliche Funktion wiederhergestellt, alternativ nur nach oben.

Unter dem Plotfenster befindet sich eine Schaltfläche, mit der eine Attraktorgraphik erzeugt werden kann. Für jeden Punkt der Zahlenebene wird dabei ermittelt, auf welche Nullstelle der Newtonalgorithmus von dort aus konvergiert und wieviele Schritte benötigt werden, um eine gewisse Annäherung zu erreichen. Der Farbwert dieses Punktes wird folgendermaßen berechnet: Seine Grundfarbe im Farbkreis richtet sich nach der Nullstelle, seine Helligkeit bzw. Dunkelheit nach der Anzahl der Iterationsschritte; die Sättigung changiert im Zweierrhythmus zur besseren Unterscheidung der Bereiche.

Weitere Optionen: Blitze   automatisch neues Polynom     Einheitskreis Gerschgorin-Kreis +Satz von Rouché Bereich anpassen