Matheseitenübersicht
Punkte im Dreieck
Kieperts Hyperbel und -Parabel
Simsonsche Gerade
Sei P ein Punkt auf dem Umkreis des Dreiecks ABC. Dann liegen die drei Fußpunkte seiner Lote auf die (u.U. verlängerten) Dreiecksseiten
auf einer gemeinsamen Geraden, der sogenannten Simsonschen Gerade zu ihrem Pol P.
Die Bezeichnung nach dem Mathematiker Robert Simson (1687-1768), in dessen Veröffentlichungen diese Gerade nirgends auftaucht,
beruht auf einer irrtümlichen Zuweisung durch Jean-Victor Poncelet (1788-1867). In Wahrheit wurde sie 1797 von William Wallace (1768-1843) entdeckt,
einem schottischen Mathematiker.
Eigenschaften:
- Die Schnittpunkte der Parallelen zur Simsonschen Gerade durch A, B und C mit dem Umkreis liegen auf den Loten von P auf die jeweils
korrespondierende Dreiecksseite a, b oder c.
- Wenn H der Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC ist, dann liegt die Mitte der Strecke PH sowohl auf der Simsonschen Gerade als auch
auf dem Neunpunktekreis1) (Feuerbachkreis).
- Die Simsongerade liegt nie komplett außerhalb des Dreiecks. Sie schneidet entweder zwei Seiten, oder eine Seite liegt auf ihr, und zwar genau dann,
wenn die Mitte der Strecke PH genau mit der Mitte jener Seite zusammenfällt.
- Alle P auf dem Umkreis umhüllen eine
Deltoide
2) (Steiner-Hypozykloide), die die gleiche Orientierung hat wie das Morley-Dreieck3).
Die Deltoide berührt den Neunpunktekreis.
- Ist P' der P diametral auf dem Umkreis gegenüberliegende Punkt, dann ist seine Simsonsche Gerade orthogonal zu der von P.
- Sind P und Q beliebige Punkte auf dem Umkreis, dann ist der Winkel ∡PUQ doppel so groß wie der Winkel zwischen den beiden Simsonschen Geraden zu P und Q.
- Sind P, R und S drei beliebige Punkte auf dem Umkreis, dann ist das durch deren drei Simsonsche Geraden gebildete Dreieck dem Dreieck PRS ähnlich.
- Liegen P, R und S den Punkten A, B und C jeweils diametral gegenüber, fallen deren Simsonsche Geraden mit den Seitengeraden des Dreiecks ABC zusammen,
das Dreieck aus deren Simsonschen Geraden ist folglich identisch mit ABC und ähnlich zum Dreieck PRS.
- Die Simsonschen Geraden zu A, B und C selbst sind die Höhengeraden des Dreiecks ABC.
Man kann das oben Beschriebene auf dieser Seite interaktiv ausprobieren und studieren. Die Dreieckspunkte A, B und C sind mit der Maus verschiebbar,
ebenso die jeweiligen Punkte auf dem Umkreis (sofern sie nicht an A,B,C gekoppelt sind). Man kann auch alles per Maus verschieben und zoomen (Mausrad).
Zudem kann man P auch automatisch-animiert den Umkreis umlaufen lassen.
© Arndt Brünner, 12. 10. 2024
Version: 17. 10. 2024