Erläuterungen

Unter einem sphärischen Dreiecke versteht man ein (gewölbtes) Dreieck auf einer Kugeloberfläche (=Sphäre). Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der Kugel liegt auf einem sogenannten Großkreis, der durch die Punkte geht und dessen Mittelpunkt der Kugelmittelpunkt ist. Die Punkte teilen den Kreis in zwei meist ungleiche Teile. Nach der sinnvollen Festlegung von Leonhard Euler betrachtet man den kürzeren Abschnitt. Ein sphärisches Dreieck, das von den jeweils kürzeren Abschnitten dreier Großkreise gebildet wird, deren Schnittgeraden nicht zusammenfallen, heißt Eulersches Dreieck. Solche Dreiecke werden auf dieser Seite berechnet.

Nicht nur die Winkel in den Eckpunkten, sondern auch die Entfernungen (und damit die Seiten a, b und c des sphärischen Dreiecks), werden in Winkeln angegeben. Bei den Seiten beschreiben sie den betreffenden Abschnitt des Großkreises. α, β und γ sind wie üblich die Winkel in den Ecken A, B und C, d.h. die Winkel, die die Ebenen zueinander bilden, auf denen die Kreise liegen. Die Winkelsumme muß im sphärischen (räumlich gewölbten) Dreieck größer als 180° sein, wie man sich leicht vorstellen kann; sie muß jedoch kleiner als 540° sein. Mit ε wird der sogenannte "sphärische Exzeß" bezeichnet, der die Differenz der Winkelsumme zu 180° angibt. ka, kb und kc sind die Längen der Großkreisbögen, also die Entfernungen zwischen den Eckpunkten auf der Kugel. Schließlich ist A der Flächeninhalt des Dreiecks und R der Radius der Kugel. Der eingetragene Wert 6371 ist in km der mittlere Radius der Erde.

Zur Verwendung des Rechners

Einfach in die entsprechenden Felder in der linken Spalte Werte eingeben und mit dem Klick auf einen der beiden Berechnen-Buttons berechnen lassen. Der Rechenweg wird jeweils im größeren Fenster rechts angezeigt. Er hängt von der Wahl des Modus ab (siehe nächster Absatz). Die Winkeleingaben sowie -ausgaben links (a, b, c, α, β, γ) erfolgen stets in Grad, im Protokollfenster werden jedoch alle Winkel im Bogenmaß angezeigt, da damit gerechnet wird. Unten auf dieser Seite befindet sich ein Umrechnungsformular für diverse Winkelskalen. (→ dorthin springen)

Es stehen zwei Berechnungsmodi zur Auswahl:
Im ersten werden explizite Formeln verwendet, die nur eindeutige Lösungen zulassen. (Der Sinussatz wird daher hier nicht verwendet.)
Im zweiten wird bei allen verfügbaren Gleichungen getestet, ob nur noch eine Variable unbekannt ist. In diesem Fall wird eine numerische Lösung (Nullstelle) dieser Gleichung mit dem Newtonverfahren gesucht. Dazu liegen in diesem Modus alle Gleichungen in der standardisierten Form Term = 0 vor. Bei mehreren Lösungen wird die kleinste positive verwendet; die gefundene Lösungsmenge wird im Rechenprotokollfenster angezeigt. Achtung: In diesen Fällen ist das berechnete Dreieck möglicherweise nicht eindeutig (namentlich wenn es zwei Lösungen zwischen 0 und π gibt). Dieser Modus findet auch bei relativ vertrackten Situationen Lösungen.

Eine typische Anwendung

Berechnung der Kompaßrichtung (des Kurswinkels) und der kürzesten Entfernung zwischen zwei Orten auf der Erde

Die geographischen Koordinaten eines Standortes — Länge und Breite — beziehen sich auf ein System von gedachten Kreisen um den Globus. Alle Längengrade (Meridiane) sind Großkreise (siehe oben) durch die Pole und eignen sich daher besonders als Bezugssystem für trigonometrische Berechnungen auf der Erdkugeloberfläche.

Wenn man zu zwei gegebenen Punkten A und B als dritten Bezugspunkt C den Nordpol wählt, so liegen die Seiten b und a des entstandenen Dreiecks auf Meridianen, d.h. auf Großkreisen, die durch die beiden Pole gehen. Der Breitengrad eines Ortes ist genau die Winkel­entfernung auf diesem Großkreis bis zum Äquator. Da der Nordpol die Breite 90° besitzt, berechnen sich die Seiten durch die Differenz des jeweiligen Breitengrads zu 90°. Der Winkel in C ist die Differenz der beiden Längengrade.

Somit sind mit den geographischen Koordinaten zweier Orte A und B drei Stücke (SWS) eines sphärischen Dreiecks mit dem Nordpol als Punkt C bekannt, und der Rest kann leicht berechnet werden. Den Rechenweg kann man sich anhand von Berechnungs­beispielen auf dieser Seite ver­deut­lichen. Im Textfeld rechts oben auf dieser Seite werden die verwendeten Formeln bzw. Gleichungen aufgelistet.

Aus den Ergebnissen müssen noch die gesuchten Informationen abgeleitet werden: Die Entfernung zwischen A und B ist die Länge der Seite c (kc). Die Kompaß­richtungen werden direkt bzw. indirekt durch die Winkel α und β gegeben, denn die Seiten a und b zeigen von B und A aus ja genau nach Norden, und die Seite c nach A bzw. nach B. Die Gradskala des Kompasses geht im Uhrzeiger­sinn ab Norden über Osten. Von A aus liegt B defi­nitions­gemäß im Osten, damit ist α direkt die Himmelsrichtung zu Punkt B mit Ost=90°, Süd=180°, West=270° usw. Bei β ist die Richtung durch die Differenz zu 360° gegeben, denn β selbst ist ja "nach Westen orientiert" statt nach Osten.

Die Koordinaten können in dezimaler Form oder mit Bogenminuten (und -Sekunden) eingegeben werden. Einige Orte sind über die Listenfelder direkt abrufbar. Das zugehörige sphärische Dreieck wird nach jeder vollständigen Eingabe sofort automatisch auf dem Globus angezeigt. Dieser kann übrigens mit der Maus gedreht und nach vorne oder hinten gekippt werden. Die komplette Berechnung des Dreiecks wird im oberen Abschnitt der Seite protokolliert, nachdem sie mit der zugehörigen Schaltfläche veranlaßt wurde.

Geoid

Die Erde ist natürlich keine Kugel, auch bezogen auf die Meereshöhen nicht. Ihre Gestalt ist überraschenderweise außerordentlich unregelmäßig, beeinflußt u.a. durch die Fliehkraft, die den Bereich am Äquator nach außen zieht, aber auch durch die ungleichmäßige Dichte des Erdinneren und die Massewirkungen von Gebirgen, und läßt sich geometrisch nicht genau beschreiben. Der Schnitt durch einen Meridian der Erde ähnelt insgesamt mehr einer Ellipse als einem Kreis. Somit erhält man genauere Entfernungsbestimmungen, wenn man der Berechnung ein Rotationsellipsoid zugrunde legt. Das Rotationsellipsoid, das die Erdform nach internationaler Übereinkunft am besten annähert, hat am Äquator einen Radius von 6378,14 km und an den Polen einen Radius von 6356,755 km. Unter dem großen Ausgabefeld der Entfernungsberechnung wird angezeigt, wie weit die (theoretische) Entfernung zwischen den eingegebenen Koordinaten auf diesem Rotationsellipsoid ist. Das Geoid schließlich ist eine auf Meereshöhe reduzierte Form, die die wahre physikalische Anomalie der Erdform, bezogen auf die Richtung der Gravitation wiedergibt. (Ein hängendes Lot ist in jedem Punkt rechtwinklig zur Oberfläche.) Wäre die Erde nur von Wasser bedeckt, würde ihre Oberfläche diese Form einnehmen; allerdings tragen zur Anomalie auch die unregelmäßig verteilten Bergmassive oberhalb der Meereshöhe bei, insofern hinkt diese Vorstellung. Das Geoid weicht vom Referenzellipsoid übrigens nur zwischen -70 und +100m im Radius ab; insofern stellen Berechnungen auf dem Referenzellipsoid eine sehr gute Näherung dar.

Magnetischer Nordpol

Der magnetische Nordpol ist nicht mit dem geologischen Nordpol identisch. Seine Position ändert sich zudem kontinuierlich (jede Minute). Die maximale Abweichung vom Tagesmittel beträgt ca. 40km. Und die gemittelte Lage bewegt sich mit zunehmender Geschwindigkeit von Kanada auf Sibirien zu, das vermutlich etwa 2050 erreicht wird. Im Script wird aufgrund der derzeitigen Erwartung bei Aufruf des Listeneintrags "magn. Nordpol" ein statistischer Erwartungswert der Lage des magnetischen Nordpols für das aktuelle Datum errechnet und eingetragen. Bei Wahl des Listeneintrags "... - im Jahr" kann das Jahr im Bereich von 1831 bis 2020 eingegeben werden. Die Lage des magnetischen Nordpols wird aufgrund bekannter Lage­messungen (in den Jahren 1831, 1904, 1948, 1962, 1973, 1984, 1994, 2001 und 2007), den inter­nationalen Standard­werten bis 2005 und Schätzungen bis 2020 inter- bzw. extrapoliert. Damit kann direkt die theoretische Mißweisung eines magnetischen Kompasses für jeden Punkt der Erde und jede Zeit zwischen 1831 und 2020 berechnet werden. Zu beachten ist allerdings, daß der wirkliche Wert durch Anomalien des Erdmagnet­feldes bis ca. 10° vom mathematisch berechneten Wert abweichen kann. Wer Kenntnis von aktuelleren Messungen hat, möge sie mir zwecks Einpflegung bitte mitteilen.

Der drehbare Globus

Anfang 2019 habe ich das hübsche alte Applet schweren Herzens wegen der an anderer Stelle besprochenen Java-Problematik durch eine interaktive HTML5-Graphik mit ziemlich gleicher Optik und ähnlicher Funktionalität ersetzt, die aber nun ohne irgendein plugin und insbesondere ohne Java oder Flash auskommt. Die drei Großkreise für die Ent­fer­nungs­berechnungen des Formulars neben dem Globus werden automatisch gezeichnet, sobald zwei gültige Orte angegeben wurden — ein Großkreis durch die beiden Orte und je einer durch einen der Orte und den Nordpol. Das zur Rechnung relevante der entstehenden sphärischen Dreiecke (das kleinste der acht (sind es wirklich acht?)) wird fetter dargestellt. Man kann den Globus drehen, dabei bleibt der angeklickte Erd­punkt unter der Maus (jedenfalls soweit das möglich ist), Nord- und Südpol bleiben immer in der senk­rechten Mittelachse. Man kann diese Erde also sozusagen nicht drehen und wenden, wie man will. Es könnte eine Metapher dafür sein, daß man mit der echten Erde auch nicht machen kann, was man will. Man sollte sie nicht auf den Kopf stellen oder in Schieflage bringen. Die stilisierte Form der Landmassen­grenzen beruht(e) auf ca. 600 Koordinatenpaaren, die ich im Sommer 2003 aus einem (papierenen) Atlas zusammen­klaubte. Inzwischen (Ende August 2022) habe ich die Konturen etwas verfeinert; man kann aber optional noch die Konturen der alten Version aktivieren. Die neue Version verbindet nun größere Distanzen dieser Polygonzüge nicht mehr durch gerade Linien, sondern mit entsprechenden Kurven. Wenn man will, kann man das Zeichnen von Äquator, Breitenkreisen, Meridianen, Polen und Erdmitte zuschalten. (Die Kreise alle 10° geographischer Breite bzw. Länge). Noch mehr Optionen gefällig? Nun denn: Nur den Bogen zwischen den beiden Erdpositionen zeigen: ,   Landkonturen ausblenden: ,   Alte Konturen verwenden: ,   beide Orte automatisch ins Bild drehen: ,   Mauskoordinaten in Seitentitel anzeigen: ,   Globus verschwinden lassen (besonders sinnvolle Option!): .

Gerade Bewegung einer bestimmten Länge mit einer bestimmten Startrichtung

Eine zweite typische Anwendung betrifft die Frage, an welchen Ort (mit welchen geogr. Koordinaten) man gelangt, wenn man von einer Startposition aus in einer gewissen Richtung startet und sich dann eine gewisse Strecke geradeaus bewegt. (Man kann hier nicht sagen: stets in der gleichen Richtung, denn die gerade Bewegung findet auf Großkreisen statt, und diese schneiden, sofern die Bewegung nicht genau nach Süden oder Norden gerichtet ist, jeden Meridian in einem anderen Winkel.)

b = 90° − Breitengrad des Startorts α = Kursrichtung c = Strecke/Kugelumfang·360° γ = Längengraddifferenz a = 90° − Breitengrad des Zielorts

Umwandlung von Winkelangaben

Die Eingabe wird automatisch in die verschiedenen Formate umgewandelt. Bei der Eingabe werden folgende Zeichen erkannt: ° für Grad, g oder gon für Neugrad, ' und " für Minuten und Sekunden, : oder h für Stunden. Eingaben ohne Zusatzzeichen werden im Bogenmaß (Bogenlänge eines Kreissektors (="Tortenstück") mit dem entsprechenden Winkel an der "Spitze" und dem Radius 1) interpretiert.

Die mittlere Tageslänge auf der Erde orientiert sich an der "Stellung der Sonne", also an der Richtung zur Sonne. Durch die Bewegung der Erde auf ihrer Ellipse um die Sonne muß sie sich täglich im Durchschnitt 3min und 55,909s über die volle Drehung hinaus weiterdrehen, um diese Ausrichtung wieder zu erreichen. Über ein Jahr macht das insgesamt eine volle Drehung aus. Es ist daher ein Unterschied, ob man die Tageslänge an der Sonne oder am Fixsternhimmel orientiert. Der Sonnentag ist im Mittel 24h lang, der Sterntag aber nur 23h 56min 4,091s.
Hier kann die Bezugslänge festgelegt werden: Sonnentag (24h)     Sternentag (23h56m4,091s)