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Summenformeln bis n¹⁰  •  ... für Kubikzahlen

Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n und der Quadratzahlen bis n²

Auf dieser Seite werden die Summenformeln einmal "naiv" (durch geeignetes Hinschreiben) hergeleitet und durch vollständige Induktion bewiesen.

Summe 1 + 2 + 3 + ... + n

Von kleinen Carl Friedrich Gauß ist die Anekdote überliefert, daß er seinen Dorfschullehrer, der die Gruppe der Kleinen für geraume Zeit beschäftigen wollte, indem er sie die Summe der Zahlen von eins bis hundert ausrechnen ließ, überraschte. Nach wenigen Augenblicken hatte Carl Friedrich die richtige Lösung parat. Ihm muß aufgefallen sein, daß man die Zahlen sinnvoll paaren kann: Die erste mit der letzten, die zweite mit der vorletzten — immer ergibt sich dieselbe Summe, nämlich 100+1 (allgemein n+1). Da es 50 (allgemein n/2) solcher Paare gibt, mußte die Summe (101)·50 sein.

1	+	100	= 101
2	+	99	= 101
3	+	98	= 101
4	+	97	= 101
···		···	···
···		···	···
49	+	52	= 101
50	+	51	= 101
			5050

Der kleine Gauß hatte damit die Summenformel entdeckt:

Die Formel gilt auch für ungerade n. Die mittlere Zahl hat keinen Partner bei der Paarbildung. Man bildet also (n-1)/2 Paare mit der jeweiligen Summe (n+1), addiert die mittlere Zahl (n+1)/2 und kommt so ebenfalls auf diese Summenformel:

n - 1 2

·(n + 1)

+

n + 1   2

=

(n-1)(n+1) + n+1 2

=

n² - 1 + n + 1 2

=

n(n + 1) 2

Beweis durch vollständige Induktion

Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion kann man ein wenig mit dem vollständigen Umfallen einer (unendlich langen) Reihe von Dominosteinen vergleichen. Damit eine solche Reihe ohne Abbruch umfällt, müssen im Grunde zwei Bedingungen erfüllt sein:

(1)	Man muß einen ersten Stein umwerfen.
(2)	Jeder Stein muß beim Umfallen seinen Nachfolger umwerfen.

Bei der vollständigen Induktion von Aussagen, deren Definitionsmenge die Menge der natürlichen Zahlen ist, ist es ganz ähnlich. Das Umfallen eines bestimmten Dominosteins entspricht hier der Gültigkeit der Aussage für eine bestimmte natürliche Zahl:

(1)	Die Aussage muß für eine kleinste Zahl n0 gelten. Das kann man meist sehr leicht nachrechnen.
(2)	Aus der Gültigkeit der Aussage für n muß die Gültigkeit für den Nachfolger n+1 folgen. Dies muß allgemein (nicht mit konkreten Zahlenwerten für n) gezeigt werden.

Wir bezeichnen die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n mit S(n) und versuchen zu beweisen, daß S(n) = ½·n·(n+1) für alle n ∈ N ist.

Bedingung (1), die man auch Induktionsanfang nennt, ist schnell abgehakt. Wir berechnen die Summe der natürlichen Zahlen bis 1, die natürlich 1 ist, nach der Formel: S(1) = ½·1·(1+1) = ½·1·2 = 1. Stimmt.

Für Bedingung (2), die man auch Induktionsschritt nennt, nehmen wir an, die Aussage gelte für beliebige n, d.h. S(n) = ½·n·(n+1) und S(n+1) = ½·(n+1)·(n+1+1) = ½·(n+1)·(n+2) seien korrekt.

Nun kann man die Summe der natürlichen Zahlen bis n+1, also S(n+1), auch berechnen, indem man die Summe der natürlichen Zahlen bis n nimmt und die nächste Zahl n+1 addiert. Man kann also S(n+1) als S(n)+n+1 schreiben. Das ist sicher richtig, wenn S(n) die richtige Summe bis n angibt, und das nehmen wir ja an.

Wenn man jetzt nachweisen kann, daß S(n)+n+1 identisch mit S(n+1) nach der Formel ist, ist die Bedingung (2) erfüllt:

               n(n+1)
S(n) + n+1 =  ——————— + n+1                     
                 2

               n² + n + 2n + 2
           =  —————————————————
                      2

               (n+1)(n+2)
           =  ————————————             =  S(n+1)   J
                   2

Damit impliziert die Richtigkeit von S(n) die Richtigkeit von S(n+1), womit die Aussage für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 bewiesen ist.

                                  n·(n + 1)
   1 + 2 + 3 + 4 + ... + n   =   ———————————   
                                      2        

Die Summe der Quadratzahlen von 1 bis n²

Leider kann man die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, 36, usw. nicht so schön paaren wie die natürlichen Zahlen, so daß die Summenformel nicht so ohne weiteres naiv gefunden werden kann. (Es ist mir jedenfalls nicht bekannt, daß der kleinen Gauß auch diese Formel aus dem Ärmel geschüttelt hätte...)

Zunächst betrachten wir die Differenzen aufeinander folgender Quadratzahlen:

Daß die Differenzen die lückenlose Menge der (positiven) ungeraden Zahlen bilden, ist schnell bewiesen. Man vereinfacht den Term für die allgemeine Differenz zwischen der Quadratzahl n² und ihrem Vorgänger (n-1)²:
     n² - (n-1)² = n² - (n² - 2n + 1) = n² - n² + 2n - 1 = 2n - 1
und erhält 2n-1 als Differenz zwischen (n-1)² und n².
Der Term  2n-1 liefert für n∈N genau die Menge der (positiven) ungeraden Zahlen.

Nun kann man die Quadratzahl n² auch als Summe der Differenzen bis n² schreiben. 7² = 49 ist beispielsweise gleich 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13.

n² ist damit darstellbar als 1 + 3 + 5 + ... + 2n-1.

Mit diesem Wissen lassen sich die Quadratzahlen schon etwas "linearer" aufschreiben. Die Summe der Quadratzahlen bis 5² wäre damit die Summe dieser Zahlen:

                        9
                   7    7
              5    5    5
         3    3    3    3
    1    1    1    1    1

   ———  ———  ———  ———  ———
   =1²  =2²  =3²  =4²  =5²

Offensichtlich befinden sich 1+2+3+4+5 Zahlen in diesem Dreieck. Die Anzahl der Zahlen in dem Dreieck für n² ist also die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n: S(n), deren Formel wir oben bereits bewiesen haben.

Nun kann man leider die Zahlen im Dreieck immer noch nicht so schön paarweise anordnen wie die oben.

Mit folgendem Trick kommt man aber weiter. Wir ordnen die Zahlen zweimal anders an und addieren sie stellenweise auf das ursprüngliche Dreieck. Die Summe der Zahlen in dem Dreieck, das man dadurch erhält, ist dann das Dreifache der gefragten Quadratsumme.

Zunächst verschieben wir die Spalten im Dreieck so, daß das Dreieck schön symmetrisch wird:

       9
      7 7
     5 5 5
    3 3 3 3
   1 1 1 1 1

Nun spiegeln wir die Zahlen einmal an der Seitenhalbierenden von rechts unten nach links oben und einmal an der anderen Achse:

               1                          1
              3 1                        1 3
             5 3 1                      1 3 5
            7 5 3 1                    1 3 5 7
           9 7 5 3 1                  1 3 5 7 9

Addiert man nun stellenweise die Zahlen der drei Dreiecke, erhält man

Wow!

Daß stets, d.h. in allen verdreifachten Quadratsummendreieck, überall nur gleiche Zahlen stehen, wird im Anhang (siehe unten) bewiesen. Hier interessiert zunächst nur, welche Zahl es ist. Betrachten wir dazu die Zahl an der Spitze. Sie ist im Beispiel die Summe aus 1+1+9. Die 9 ist die höchste Differenz in der Darstellung von n², die, wie wir oben gesehen hatten, gleich 2n-1 ist.
Die zwei Einsen dazu, und man erhält 2n+1. Tatsächlich ergibt das für n=5 die 11.

Wir erinnern uns nun, wieviel Zahlen im Dreieck stehen, oder zählen sicherheitshalber nochmal nach: Es sind 1+2+3+4+5 Elfen, also S(n) Stück.

Das allgemeine verdreifachte Dreieck besteht also aus der n(n+1)/2 mal auftretenden Zahl 2n+1, bzw. aus S(n) mal (2n+1).

Nun hatten wir schon bemerkt, daß dies das Dreifache der gefragten Quadratsumme ist, womit man S(n)·(2n+1) einfach durch 3 teilen muß, um die Quadratsummenformel zu erhalten:

   S(n)·(2n+1)      n(n+1)·(2n+1)      n(n+1)(2n+1)
  ————————————  =  ——————————————  =  —————————————
        3              2 ·  3               6

Dies ist die Formel für die Summe der Quadratzahlen 1²+2²+3²+...n².

Induktion

Auch hier noch der Beweis durch vollständige Induktion. Wir bezeichnen die "angebliche" Summe der Quadratzahlen 1²+2²+...+n², wie sie die Formel zu liefern scheint, mit Q(n).

(1): Wir rechnen aus, daß Q(1) die Summe der Quadrate bis 1² ist: Q(1) = 1·2·3/6 = 1. Stimmt.

(2): Sei Q(n) richtig. Dann wäre Q(n+1) = (n+1)(n+2)(2(n+1)+1)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6

Wenn Q(n) die Summe der Quadratzahlen bis n² ist, ist Q(n)+(n+1)² sicherlich die Summe der Quadratzahlen bis (n+1)². Wir weisen nach, daß Q(n)+(n+1)² = Q(n+1) ist:

                 n(n+1)(2n+1)          
Q(n)+(n+1)²  =  ————————————— + (n+1)² 
                      6                

                 2n³ + 3n² + n     6n² + 12n + 6
             =  ——————————————— + ———————————————
                       6                 6

                 2n³ + 9n² + 13n + 6
             =  —————————————————————
                          6 


                 (n+1)(n+2)(2n+3)
    Q(n+1)   =  —————————————————            (siehe oben)
                         6

                 2n³ + 9n² + 13n + 6
             =  —————————————————————
                          6

Damit ist die Formel bewiesen.
 

                                       n·(n + 1)·(2n + 1)
   1² + 2² + 3² + 4² + ... + n²   =   ———————————————————   
                                               6           

© Arndt Brünner, 9. 10. 2004
Version: 1. 10. 2006
→ Summenformeln bis n¹⁰
→ Beweis für die Summe der Kubikzahlen

Anhang

                     9
                    7 7
                   5 5 5
                  3 3 3 3
                 1 1 1 1 1

               1                        1
              3 1                      1 3
             5 3 1          +         1 3 5
            7 5 3 1                  1 3 5 7
           9 7 5 3 1                1 3 5 7 9
           ———————————————————————————————————
                            2
                           4 4
                          6 6 6
                         8 8 8 8
                       10 10 10 10 10