Der Satz des Thales

Der Satz des Thales von Milet (um 625 v.Chr — um 547 v. Chr.) besagt, daß Dreiecke, deren längste Seite der Durchmesser eines Kreises ist, genau dann rechtwinklig sind, wenn der dritte Punkt auf dem Bogen des Kreises liegt (siehe Zeichnung).

Um den Satz zu beweisen, denkt man sich vom Mittelpunkt des Kreises, also vom Mittelpunkt M der längsten Seite des Dreiecks, eine Strecke zum dritten Punkt C. Dadurch entstehen zwei Teildreiecke AMC und MBC.

Die drei Strecken AM, BM und CM sind jeweils Radien des Kreises und damit alle gleichlang.

Da beide Teildreiecke (AMC und MBC) jeweils zwei dieser Radien als Seiten haben, müssen beide gleichschenklig sein. Gleichschenklige Dreiecke besitzen zwischen den gleichen Schenkeln und der dritten Strecke je zwei gleiche Winkel.
In der Zeichnung gilt also:  α = μ  und  δ = ε.

Nun gilt in jedem Dreieck der Satz, daß die Summe der Innenwinkel 180° beträgt; so auch im Dreieck ABC. Die Innenwinkel diese Dreiecks sind α, δ, sowie ε und μ.
Daher muß gelten:

α + δ + ε + μ = 180°

Da α = μ und δ = ε , kann man auch schreiben:

μ + ε + ε + μ = 180°

Zusammengefaßt:

2μ + 2ε = 180°

Beide Seiten der Gleichung durch 2 geteilt:

μ + ε = 90°

Und damit ist bewiesen, daß der Innenwinkel des Dreiecks ABC beim Punkt C 90° betragen muß.

Im folgenden Applet kann der obere Punkt des Dreiecks mit der Maus verschoben werden. Man kann ihn am Kreis fixieren oder auch teilweise (mit "Fangbereich") oder ganz lösen, um zu sehen, wie sich die Winkel bei Veränderungen der Situation ändern.

Java-Applet zur Verdeutlichung des Satzes von Thales

Der obere Eckpunkt des Dreiecks kann mit der Maus verschoben werden.

Beiweis des Satzes von Thales über die Punktsymmetrie des Kreises

Das Dreieck ABC ist so in einen Kreis einbeschrieben, daß die Strecke AB durch den Kreismittelpunkt M geht. Spiegle den Punkt C am Mittelpunkt M. Es gilt |MA| = |MC'| = |MB| = |MC|, denn alle diese Strecken sind Kreisradien. Damit sind die Diagonalen AB und CC' des Vierecks AC'BC gleichlang, und ihr Schnittpunkt M teilt sie in je zwei gleiche Teile der Länge r. Ein Viereck mit gleichlangen Diagonalen, die sich in der Mitte schneiden, ist ein Rechteck, woraus folgt, daß alle Innenwinkel des Vierecks, insbesondere ∠ACB rechte Winkel sind. Andere Argumentation: Durch die Punktspiegelung entsteht ein Parallelogramm. Da seine Diagonalen gleichlang sind, muß es ein Rechteck sein.

Weiterer Beweis

g || CB α := α1 + α2 Es gilt: γ ′ + α1 + α2 + β′ = 180° (Winkelsumme ACB) β = β′ und γ = γ ′ (Wechselwinkel), damit ist auch γ + α1 + α2 + β = 180° Die Dreiecke ABM und AMC sind gleichschenklig, daher gelten b = a2 und g = a1 und somit α1 + α1 + α2 + α2 = 180°. Wegen α1 + α2 = α, ist 180° = α1 + a1 + α2 + α2 = 2α und damit α=90°.