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Die Ägyptische Darstellung von Brüchen mit Stammbrüchen

Die alten Ägypter kannten wie auch andere antike Völker keine Dezimalbrüche, sondern schrieben Brüche als Summe von Stammbrüchen, also Brüchen mit dem Zähler 1. Dabei bevorzugten sie Darstellungen, bei denen möglichst viele Nenner Teiler von 60 sind. Interessanterweise ist nämlich die Darstellung durch eine Summe aus Stammbrüchen keinesfalls eindeutig.

Beispiel:

    5        1      1       1      1      1       1      1      1       1      1      1
  ————   =  ——— + ————  =  ——— + ———— + ————  =  ——— + ———— + ————  =  ——— + ———— + ————
   19        4     76       4     77    5852      5     16    1520      6     12     76

             1      1      1      1       1      1      1      1         1      1      1      1
         =  ——— + ———— + ———— + ————  =  ——— + ———— + ———— + —————  =  ———— + ———— + ———— + ————
             6     20     30     76       8     14     15    15960      10     12     15     76

             1      1      1      1      1      1
         = ———— + ———— + ———— + ———— + ———— + ————
            12     15     20     30     60     76

                   Die Nenner nach ägyptischem Geschmack sind hier blau wiedergegeben.

Die Bevorzugung der 60 mag uns auf den ersten Blick fremd erscheinen — aber sie ist uns eigentlich vertraut! Denn das uns doch sehr gegenwärtige Zifferblatt der Uhr, d.h. die Minuten- und Sekundeneinteilung des Vollkreises, beruht auf der 60er-Teilung. Man stelle sich den Bruch als Segment eines runden Zifferblattes vor; dann sind alle Brüche mit durch 60 teilbarem Nenner durch ganze Minuten darstellbar. Hier die Darstellung der Stammbrüche in Minuten: 1/2=30', 1/3=20', 1/4=15', 1/5=12', 1/6=10', 1/10=6', 1/12=5', 1/15=4', 1/20=3', 1/30=2', 1/60=1'. Der Vorteil der 60er-Teilung erweist sich dadurch, daß alle möglichen Stammbrüche größer als die Hälfte des jeweils größeren sind, was eine Darstellung aller Brüche als Summe von absteigenden Stammbrüchen überhaupt erst ermöglicht.
Bsp.: 7/11 = 1/2 + 1/10 + 1/30 + 1/330 = 30' + 6' + 2' + wenige Sekunden = gut 38'. Und der Rest (1/330 Stunden) läßt sich mit 1/330 = 1/360 + 1/3960 = 10" + [etwas weniger als 1"] weiter in Sekunden zerlegen, wenn man zunächst nur Nenner betrachtet, die Teiler von 3600 sind. Oder als Minuten-Bruch weiterhin nur mit Teilern der 60: 60/330 = 1/6 + 1/66. Somit entspricht eine „Siebenelftelstunde“ etwa 38'11".

 

Wie findet man eine solche Darstellung?

Man findet in jedem Fall eine derartige Darstellung durch Stammbrüche, wenn man stets den größtmöglichen Stammbruch herauszieht.

Interaktive Beispiele: (Bruch eingeben und auf [Einfache Zerlegung] klicken)           ägyptische Nenner bevorzugen: n|60   n|3600

      Anfang vorgeben
(nur Nenner):

Wie man sieht, werden die Zähler der (gekürzten) Reste in jedem Schritt kleiner. Ein Beweis dieser Aussage findet sich im Anhang unten. Daraus folgt, daß das Verfahren sicherlich abbricht, denn im Rest muß irgendwann zwangsläufig der Zähler 1 auftauchen.

 

Darstellung mit einer bestimmten Zahl von Summanden

Die obigen Beispiele zeigen, daß viele Brüche schon durch den einfachen Algorithmus mit sehr wenigen Stammbrüchen, oftmals drei, darstellbar sind. Es ist ein sehr anspruchsvolles Problem, welche Brüche mit einer konstanten Zahl von Stammbruch-Summanden, insbesondere mit drei Summanden, darstellbar sind.

Alle Brüche mit dem Zähler 2 und einem ungeraden Nenner >2 lassen sich durch zwei Stammbrüche darstellen, denn 2/n = 1/a + 1/b mit a=(n+1)/2 und b=a·n. →Hier ist eine pdf-Datei mit der Herleitung eines Verfahrens, alle Darstellungen für 2/n = 1/a + 1/b zu finden.

Auch für Brüche mit Zähler 3 und Nenner >3 gibt es immer eine solche Darstellung: z/n = 1/a + 2/b. Falls n bei der Division durch 3 den Rest 1 läßt, ist a=(n+2)/3 und b=a·n. Falls der Rest 2 ist, ist a=(n+1)/3 und b=a·n. Im ersten Fall ist 2/b ein Stammbruch, falls b gerade ist. Sonst ist es eine Summe aus zwei Stammbrüchen (s.o.).

Für Zähler größer als 3 ist bislang unbewiesen, ob es ein nur vom Zähler abhängiges n0 gibt, für das alle Brüche z/n mit n≥n0 als Summe von höchstens drei Stammbrüchen darstellbar sind.

 

Ausprobieren

Geben Sie einen Bruch ein, legen Sie die Optionen fest und klicken Sie auf die Schaltfläche [Zerlegung]. Achtung: Bei mehr als drei Summanden kann die Rechenzeit sehr lange sein. In der Statusleiste des Browsers kann der Suchprozeß beobachtet werden.

Höchstens Stammbrüche

         erster Nenner
≥ 		        vorletzter Nenner
≤ 		        max. Anzahl
         Sortierung
                   

Anhang

Vom (gekürzten) Bruch z/n wird der größtmögliche Stammbruch 1/m subtrahiert. m ist dabei die kleinste Ganzzahl größer oder gleich n/z. Der Rest sei z'/n'.

Behauptung:    z' < z.

Beweis:

Weil m die kleinste Ganzzahl größer oder gleich n/z ist, gibt es ein d mit 0 ≤ d < 1 und m = n/z + d 

  z'      z     1       z       1         z(n/z+d) - n          dz   ·z         dz²
 ———  =  ——— - ———  =  ——— - ———————  =  ——————————————  =  ————————————  =  —————————
  n'      n     m       n     n/z+d         n(n/z+d)         n(n/z+d)·z      n(n + dz)

              dz²n'
  ⇒  z' =  —————————
            n(n + dz)

Nun kann der Hauptnenner n' nicht größer sein als n·m, also: n' ≤ n·(n/z+d).
Daraus ergibt sich die Abschätzung:

           dz²n'        dz²n(n/z+d)      dnz(n + dz)     
  z' =  ———————————  ≤  ———————————  =  ————————————  =  dz
         n(n + dz)       n(n + dz)        n(n + dz)

Wegen d < 1 ist somit z' < z.

© Arndt Brünner, 23. 3. 2003
Version: 20. 5. 2006
Zerlegungen der 1 in n Stammbrüche (bis n=6)
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