Arbelos

Der Arbelos — oder die Sicheln des Archimedes: interaktive Graphik

Der Durchmesser eines Halbkreises wird in zwei Abschnitte geteilt und auf jedem der Abschnitte ein weiterer Halbkreis errichtet. Die sichelförmige Figur, die diese kleinen Halbkreise aus dem großen übrig lassen, nennt man Arbelos (griech.: Schustermesser) oder Sicheln des Archimedes, der den Arbelos bereits untersucht und auch seine Eigenschaften beschrieben haben soll. U.a. ist der Umfang der beiden kleinen Halbkreise gleich dem des großen. Interessanter sind aber die Flächensätze.

Der Archimedeskreis ist ein Kreis mit der Höhe des Halbkreises bei der Teilung als Durchmesser. Er ist zum Arbelos flächengleich. (Siehe den Beweis unten für den allgemeinen Fall, der auch hierfür gilt.)

Es gibt eine Fülle interessanter Zusammenhänge insbesondere mit Kreisen, die kongruent zu den Zwillingskreisen des Archimedes sind. Einige werden auf den umfangreichen Seiten Jürgen Köllers Mathematische Basteleien beschrieben. (Dort finden sich auch Beweise der elementaren Eigenschaften). Einige dieser zu den Zwillingskreisen kongruente Kreise sind hier mit W1 bis W29 durchnumeriert, die Zwillingskreise selbst sind W1 und W2. Diese Bezeichnung folgt den Arbeiten Thomas Schochs. Einige weitere Kreise aus dem Onlinekatalog der Archimedischen Kreise sind mit A... gelistet. Die Lage und die besonderen Eigenheiten können bei Aktivierung der Option erklärende Zusammenhänge einzeichnen studiert werden.

Außerdem kann die sogenannte Papposkette studiert werden. Der Inkreis ist der glößte Kreis, der der Arbelosfläche einbeschrieben werden kann. Dann gibt es wieder einen maximalen Inkreis für die verbliebene Restfläche und so weiter. Es er gibt sich eine unendliche Folge von immer kleiner werdenen Kreisen. (Werden die Papposkreise einer Inversion an einem Kreis um die Spitze des Arbelos unterzogen, an dem die Papposkette konvergiert, bilden sie eine Kette gleichgroßer Kreise. Auch das kann man sich hier anschauen.)

Wählen Sie rechts die Anzeigeoptionen aus. Mit Klick in die Graphik schaltet man ein und aus, ob die Teilung interaktiv am Mauszeiger vorgenommen wird. Die Graphik läßt sich mit gedrückter Maustaste verschieben und per Mausrädchen zoomen

Arbelos: gefüllt p: 0,7
mausbewegt fix im goldenen Schnitt
Zeichne:
Inkreis Papposkreise
Höhe Kreis mit Höhe als Radius
Thalesdreieck -rechteck Scheitelrechteck
Archimedeskreis
Zwillingskreise des Archimedes
Archimedeskreis um Zwillinge
interaktiver Archimedischer Kreis um Maus
Besondere Archimedische Kreise: W1/2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W13 W14 W15 W16 W17 W18 W19 W20 W21 W22 W23 W24 W25 W26 W27 W28 W29 A26 A27 A28 A29 A30 A33 A34 A37 A48 A49 A53
U_n: n=1
erklärende Zusammenhänge einzeichnen
Mittelpunktskurve der Papposkreise
Brennpunkte etc. Inversion
Berührpunktekreis der Papposkreise
Schoch-Linie
Tangente Scheitellinie
Radien auf Mittelpunktskurve
Kreismittelpunkte
Inversionskreis, r:
invertieren:
alle Kreise alle Strecken Mauspunkt

Verallgemeinerung

Anstatt der Halbkreise kann man auch andere Kurvenformen verwenden. Hier kann das mit ganzrationalen Funktionen 2. bis 7. Grades ausprobiert werden. Deren Form kann mit den Kontrollpunkten verändert werden. Beachten Sie, daß bei Überschneidungen die überdeckte Fläche negativ zählt. Analoges gilt für die Fläche unter der Funktion, wenn diese selbst abschnittsweise ins Negative geht.

Die Fläche unter der kompletten Funktion habe den Inhalt F, und deren Breite sei o.B.d.A. 1. Der linke Abschnitt habe die Länge p. Dann hat der rechte die Länge 1-p, und die kleinen (zur großen ja ähnlichen) Flächen haben die Inhalte p²·F bzw. (1-p)²·F. Damit hat der verallgemeinerte Arbelos den Inhalt F-p²F-(1-p)²F = (1-p²-(1-p²))F = (-2p²-2p)F = 2p(1-p)F. Da für den Halbkreis über der Basis 1 gilt: pq = p(1-p) = h² (Höhensatz), hat der Arbelos den Inhalt 2h²F, d.h. ist doppelt so groß wie eine zur ursprünglichen ähnlichen Fläche mit Basis h statt 1. h ist dabei die Höhe im Halbkreis über der Basis an der Teilungsstelle.

Funktionsgrad: 2

mit Maus Teilung verändern
Archimedische Figur einzeichnen
rechte Hälfte:
punktssymmetrisch
achsensymmetrisch
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