Kiepert-Dreiecke und -Hyperbel

Der deutsche Mathematiker Ludwig Kiepert (Breslau 1846 - Hannover 1934) entdeckte als Student in Berlin, daß, wenn man auf alle Seiten eines Dreiecks ABC jeweils ähnliche gleichschenklige Dreiecke BA'C, CB'A und AC'B konstruiert, sich die drei Geraden durch jeweils eine Ecke des Dreiecks sowie die korrespondierende Ecke des gegegenüberliegenden Seitendreiecks in einem Punkt schneiden, der unabhängig von der Höhe der Seitendreiecke stets auf einer nur vom Dreieck ABC abhängigen Hyperbel liegt. Auf dieser Hyperbel liegen noch allerhand andere ausgezeichnete Punkte, u.a. die drei Dreiecksecken, der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt, der Spiekerpunkt, die beiden Napoleonpunkte, die beiden Vectenpunkte, der 3. Brocardpunkt usw. (Zu diesen Punkten siehe auch →hier.)

Man kann das hier interaktiv ausprobieren. Die Ecken der Dreiecke sind per Maus verschiebbar, ebenso der Punkt K auf der Hyperbel. Die Gleichschenkligkeit läßt sich deaktivieren; die Seitendreiecke bleiben immer automatisch ähnlich.

gleichschenklig andere Punkte auf Hyperbel zeigen

Zeichnung für Kiepertsche Parabel
Seitendreiecke und persp. Achse Tangentendreieck Steinerdreieck Umkreis und Steinerpunkt

Kieperts Parabel

Auf der sogenannten perspektivischen Achse liegen die Schnitte der Geraden AB mit A'B', AC mit A'C' sowie BC mit B'C'. (AC'B, BA'C und CB'A sind hierbei wiederum gleichschenklige Dreiecke über den Seiten von ABC.) Die perspektivischen Achsen für ein festes Dreieck ABC sind dann alle Tangenten an die Kiepertsche Parabel, die damit ihrerseits die Einhüllende (Hüllkurve oder Enveloppe) der perspektivischen Achsen ist. Die Eulersche Gerade des Dreiecks ABC ist deren Leitlinie. Die Geraden AB, BC und CA sind ebenfalls Tangenten an die Parabel. Deren Berührpunkte bilden das Steinerdreieck. Die zweitlängste Seite von ABC berührt die Parabel direkt. Der Parabelbrennpunkt F ist der Feuerbachpunkt des Tangentendreiecks (Tangenten an den Umkreis in den Ecken). (Im Feuerbachpunkt schneiden sich Inkreis und Neunpunktekreis eines Dreiecks.) Brennpunkt und Steinerpunkt liegen auf dem Umkreis von ABC. Der Steinerpunkt liegt auf den Geraden durch die Dreieckspunkte und die assoziierten Parabelberührpunkte.

Jakob Steiner: schweizer Mathematiker, 1796-1863, → einige Aufsätze
Karl Wilhelm Feuerbach: deutscher Mathematiker, Jena 1800 - Erlangen 1834, → seine Abhandlung über Dreiecke