Plotter für komplexwertige Funktionen

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Plotter für komplexwertige Funktionen

Auf dieser Seite befindet sich im oberen Teil ein 3D-Plotter, der für komplexwertige Funktionen jedem Punkt der Gaußschen Zahlenebene eine z-Koordinate zuweist, die dem Betrag des zugehörigen Funktionswertes entspricht und Farbdarstellung (Fläche) farblich dem Phasenwinkel (im Farbkreis ab 0°: rot). Im unteren Teil ein 2D-Plotfenster für Farbfelddarstellungen der direkten Funktionswerte, einer Veranschaulichung der Newtoniteration sowie der Juliamenge der eingegebenen Funktion. Siehe die Erläuterungen unten.

f() =
Parameter:

Berechnung: re= im=

Bereiche:
re	±
im	±
f	Mitte: Faktor: z-Bereich automatisch

3D-Plot, Netz, z=|f(x)|
3D-Plot, Punktwolke, z=|f(x)|, Farbe=arg(f(x))
3D-Plot, Fläche, z=|f(x)|, Farbe=arg(f(x))
auch beim Drehen

re/im-Ebene zeichnen Koordinatenachsen

Punkte (reelle Achse)
Netzabschnitte

Farbsättigung: %
Helligkeit: %
Kontrast: %
je kleiner |f(x)|, desto heller
z-Koordinate:

Zoom:
Augdistanz:
Augpos. Höhenw.:
Augpos. re/im-Ebene:
rotieren, Tempo:

2D-Plot

zeige x, f(x) etc.

Farbfeld Beträge logarithmieren
Newton-Iteration Nullstellen markieren
maximal Iterationen, Grenze: |f|<
interaktiv Verlauf zeigen, Farbe:
Juliamenge, Grenze: max. Iter.: Farbiter:
interaktiv Verlauf zeigen, Farbe:

Breite: px, Höhe: px

Bildmitte:	re =
	im =
	px/1:

Koordinatensystem

Farbsättigung:	%
Helligkeit:	%
Kontrast:	%

je kleiner |f(x)|, desto heller
negativ
weiß für divergent (sonst schwarz)

Erläuterungen

Farbdarstellung der komplexen Zahlen	Die Grundfarbe ist der Farbwert auf dem Farbenkreis, der dem Argument (Phasenwinkel) der komplexen Zahl entspricht: Positive reelle Zahlen sind rot, negative hellblau, rein imaginäre Zahlen sind grün (positiv) bzw. violett (negativ). Die Helligkeit entspricht dem Betrag der Zahl, in der Regel für kleine Beträge hell, für große dunkel. (Der Phasenwinkel (=Argument) ist der gegen den Uhrzeigersinn gemessene Winkel der Strecke vom Ursprung zum entsprechenden Punkt in der Zahlenebene gegen die positive reelle Achse. Er entspricht atan(im/re) mit Berücksichtigung des Quadranten.) Zu Absolutbetrag und Argument von komplexen Zahlen siehe →hier.
3D-Plot	x- und y-Koordinate des 3D-Punktes entsprechen reeller und imaginärer Komponente des Funktionsarguments. Die z-Koordinate entspricht in der Grundeinstellung dem Betrag des Funktionswerts. Sie kann auch auf arg(f(x)), re(f(x)) und im(f(x)) umgestellt werden). Die Farbe (nur bei Punktwolkendarstellung) entspricht dem Argument/Phasenwinkel (siehe Erläuterung zur Farbdarstellung). Die Graphik kann per Maus gedreht und per Mausrad gezoomt werden. Die Augdistanz (per Schieberegler einstellbar) reguliert die perspektivische Verkürzung, der Zoomfaktor wird intern so angeglichen, daß die Größe der Graphik quasi konstant bleibt. Touch-Ereignisse auf der Graphik werden generell nicht erkannt! Steht keine Maus zur Verfügung und interpretiert der verwendete Browser das Touchen nicht als Mausbewegung, können Zoom und Augposition auch mit den Schiebereglern eingestellt werden.
2D-Plot allgemein	Verschieben per Maus und Zoomen per Mausrad. Die u.U. zeitintensive Neuberechnung der Graphik wird erst eine Sekunde nach der letzten derartigen Aktion gestartet. (Verschiebung und Zoom werden bis dahin mit der bestehenden Graphik in deren Abmessungen und Bildauflösung durchgeführt.) Stellen Sie hier ein, wieviele Millisekunden gewartet werden sollen (0: keine Automatik, Plot per Button): Δt=ms. Die Abmessungen der Graphik können frei gewählt werden. Dazu einfach Breite und Höhe (in Pixeln) angeben und auf die Plot-Schaltfläche klicken. Der Bildausschnitt kann auch ohne Maus festgelegt werden: zentralen Wert (in der komplexen Zahlenebene) eingeben sowie das Maß an Pixeln pro Einheit. (Je mehr Pixel pro Einheit, desto stärker ist die Vergrößerung.)
Farbfeld	Dargestellt werden die Funktionswerte der Zahlen in der komplexen Zahlenebene mit den oben erläuterten Farben, deren Helligkeit dem Absolutbetrag des Funktionswertes entspricht (√(re²+im²)) und deren Farbe dem Phasenwinkel (atan(re/im)) mit Berücksichtigung des Quadranten)).
Newton-Iteration	Dargestellt wird für jeden Punkt, auf welche Zahl der Newtonalgorithmus für die zugehörige Zahl konvergiert. Dabei wird x→x-f(x)/f'(x) iteriert, bis \|f(x)\| den angegebenen Wert unterschreitet. Die Helligkeit des Punktes hängt dabei ab von der Anzahl der dafür benötigten Iterationsschritte: je weniger, desto heller. Die hellsten Stellen und die Konvergenzpunkte markieren damit die Nullstellen der Funktion. Diese können optional zusätzlich mit einem kleinen Kreis markiert werden. Ist diese Option aktiviert, werden die gefundenen Nullstellen unterhalb der Graphik aufgelistet. Es entstehen übrigens interessante Effekte, wenn man die Iterationszahl recht klein und die Schwelle recht groß wählt.
Juliamenge	Hier wird jeder Punkt mit x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))... iteriert. Die Farbe des zugehörigen Bildpunktes hängt dann davon ab, wieviele Iterationen notwendig sind, bis der Absolutbetrag des erreichten Wertes eine bestimmte Grenze übersteigt. Voreingestellt ist 2, aber diese Grenze läßt sich beliebig festlegen. Die Farben gehen über den Farbkreis (ab rot über grün), in einem Zyklus, der eingestellt werden kann. Die Startfarbe kann hier gewählt werden:
Funktion	Es werden die Grundrechenarten (+ - * / ^) verstanden sowie sqrt(), exp(), ln() oder log() (gleichwertig), abs() (komplexer Absolutbetrag), arg(), sin(), cos(), tan(), sec(), csc(), cot(), von all diesen trig. Funktionen die hyperbolischen Varianten (h anhängen: z.B.: sinh()) sowie von allen auch die Arkusfunktionen (a voranstellen, z.B.: acoth()). ⁾ arg() funktioniert nicht in Newton-Iteration. Die Standardvariable kann beliebig verändert werden, dazu bei f(x) den gewünschten Buchstaben eintragen. Der Term muß dann natürlich über der gleichen Variablen definiert sein. Man kann Parameter einbauen, die im Feld unterhalb der Funktionsdefinition deklariert werden müssen. Es werden automatisch Schieberegler erzeugt, der Graph wird automatisch und interaktiv neuberechnet. Der konkrete Parameterwert kann auch direkt eingegeben werden: Dazu auf den Wert klicken.