Matheseitenübersicht
Hypothesentest
Tabellen für Binomialverteilungen
Standardnormalverteilung zur Approximation

Alternativhypothesen und Operationscharakteristiken (für Binomialverteilungen)

Bei einem Alternativtest (Hypothesentest mit Nullhypothese und Alternativhypothese) seien die Nullhypothese und ihr Ablehnungsbereich festgelegt. Damit steht auch α fest, also die Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art. (Das ist die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese zu Unrecht abzulehnen, indem ein Ergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt, obwohl die Nullhypothese zutrifft. Man berechnet sie als Bereichswahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs mit der Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese.)

Die Alternativhypothese soll nun so gewählt werden, daß der Fehler zweiter Art — dessen Eintrittswahrscheinlichkeit wird mit β bezeichnet — nicht zu groß wird. (Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn man die Nullhypothese zu Unrecht annimmt, wenn nämlich ein Ergebnis zufällig in ihrem Annahmebereich liegt, obwohl sie gar nicht zutrifft. β ist die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs der Nullhypothese unter der Annahme der alternativen Hypothese, d.h. indem sie mit deren Wahrscheinlichkeit p₁ berechnet wird.)

Der Wert von β hängt von der Wahl der Alternativhypothese H₁ ab, da er nun eben mit deren p₁ berechnet wird. Denn es ist ja β = B_{n; p1}(X ∈ Annahmebereich von H₀). Eine Operationscharakteristik ist der Graph der Funktion p₁ ↦ β und ermöglicht beispielsweise die Wahl einer geeigneten Alternativhypothese mit gewünschtem maximalen β.

Auf dieser Seite können Alternativhypothesen anhand ihrer Histogramme und der entsprechenden Operationscharakteristiken interaktiv studiert werden. Legen Sie einen Ablehnungsbereich für die Nullhypothese fest, um die Operationscharakteristik-Kurve zu erhalten, und setzen Sie das Häkchen bei der Eingabe von p₁, um Alternativverteilungen zu zeichnen und auszuwerten.

Operationscharakteristik:    

© Arndt Brünner, 3. 2. 2019
Version: 4. 2. 2019

Hinweise
Die OC-Funktion ist ein Polynom n. Grades. Das folgt aus dem binomischen Lehrsatz, denn in entstehen ja nur Summanden aus Potenzen von p mit Exponenten von 0 bis n. Die Koeffizienten ergeben sich aus den Kombinationen der Binomialkoeffizienten. Da die Polynomkoeffizienten mit wachsendem n schnell sehr groß werden, eignet sich das Polynom nur sehr begrenzt zur konkreten Berechnung. (Hinweis: ein Suffix nach der Art ...e+67 bedeutet ·10⁶⁷ (→exponentielle Notation).)