Sekantensteigungen

Auf dieser Seite kann man interaktiv die Sache mit den Sekanten durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen studieren, deren Steigungen sich der Tangentensteigung in einem der Punkte nähern, wenn der andere Punkt an diesen herangeschoben wird.

Man kann die Stelle x₀ (an der die Steigung bestimmt werden soll) an der x-Achse verschieben oder den Wert eingeben. (Ein Verschieben an der Kurve ist nicht möglich, damit es kein Mißverständnis gibt, wenn sich die Punkte näher kommen, welcher Punkt nun gemeint sei.) Die um h nach rechts verschobene Stelle x₀+h kann man sowohl an der x-Achse als auch direkt an der Kurve verschieben oder auch eingeben, dies sowohl direkt als auch über h.

Der Graph/die Graphik läßt sich per Maus verschieben und per Mausrad zoomen. Das Skalierungsverhältnis bleibt 1:1, damit die Steigungen klar zu erkennen sind bzw. die Werte zum visuellen Eindruck passen.

Die Sekantensteigungen (und alles dazugehörige) kann in einer Liste protokolliert werden. Dazu entweder den Button klicken oder optional (je nach Kreuzchen) beim Ziehen des rechten Punktes mit der Maus und gleichzeitig gedrückter Shift-Taste oder direkt per Drücken der Strg-Taste.

Unten auf der Seite kann eine konkrete algebraische Betrachtung des Diffenzenquotienten (f(x+h)-f(x))/h (für eingegebene ganzrationale Funktionen) inklusive Vereinfachung vorgerechnet werden.
Die Erkennung der Funktion basiert auf numerischen Algorithmen. Sollte die Funktion nicht erkannt werden (das Optionfeld ist dann deaktiviert), es sich aber um eine ganzrationale Funktion handeln, so können Sie neu berechnen lassen per Klick auf den Text in der Klammer neben dem Optionsfeld. Das kommt manchmal bei höhergradigen Polynomen vor.)
An der vereinfachten Fassung läßt sich dann der Grenzwert der Sekantensteigungen für h→0 erkennen, denn alle Summanden mit dem Faktor h gehen gegen 0, und der Grenzwert besteht aus den restlichen Summanden, die eben kein h enthalten. Es sind dies immer die zweiten Summanden der aufgelösten Binome (x+h)ⁿ, deren Koeffizient ja immer genau der Exponent ist und deren Exponent wiederum n-1...