Teilbarkeit

Aus der Grundschule kennst Du schon die Vielfachen einer Zahl aus dem „Kleinen Einmaleins“. Die ersten zehn Vielfachen der 3 sind einfach die ersten zehn Zahlen aus der „Dreierreihe“: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 27, 30.

So kannst Du bereits die Vielfachenmengen aufschreiben, denn die bestehen ja nur aus den entsprechenden Zahlenreihen des Einmaleins'!

Beipiel: V₇ = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, ...}

Das V steht einfach für „Vielfachenmenge“ und die kleine 7 unten rechts am V (der Index) steht dafür, daß es die Vielfachen der 7 sind.

(In diesem Übprogramm kannst Du übrigens Zahlen innerhalb einer Menge außer durch Kommas auch durch Semikolons oder durch Leerzeichen trennen.)

Vielleicht ist Dir aufgefallen, daß die Vielfachenmenge der 7 mit der 7 selbst beginnt. Jede Zahl ist Vielfaches ihrer selbst: 7 ist Vielfaches von 7, weil man 7 restlos durch 7 teilen kann. Das ist natürlich bei jeder Zahl so. Deshalb beginnt jede Vielfachenmenge mit der Grundzahl selbst.

Wenn eine Zahl in der Vielfachenmenge einer anderen auftaucht, dann ist sie ein Vielfaches dieser anderen Zahl. Beispiel: 21 ist ein Vielfaches der 7.
Umgekehrt ist 7 ein Teiler der 21. Anders ausgedrückt: 7 teilt 21. Eine kleinere Zahl teilt eine größere, wenn die größere ein Vielfaches der kleineren ist.

Du kennst Teilbarkeit aber auch so: Eine Zahl ist teilbar durch eine andere, wenn beim Teilen (Dividieren) kein Rest bleibt. 21:7=3 Rest: 0.

Es ist wichtig, die Teilbarkeitsregeln auswendig zu kennen:

Eine (natürliche) Zahl ist teilbar durch...
	2,	wenn sie gerade ist, d.h. wenn ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.
	3,	wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. (Quersumme: Alle Ziffern der Zahl zusammenaddiert)
	4,	wenn ihre letzten beiden Ziffern alleingenommen durch 4 teilbar sind.
	5,	wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist.
	6,	wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
	8,	wenn ihre letzten drei Ziffern alleingenommen durch 8 teilbar sind.
	9,	wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
	10,	wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
	25,	wenn ihre letzten beiden Ziffern 00, 25, 50 oder 75 sind.

Ein kürzerer Ausdruck für „7 ist Teiler von 21“, ist „7 teilt 21“. Dafür gibt es auch ein mathematisches Symbol: 7|21. Der senkrechte Strich zwischen der 7 und der 21 bedeutet: „teilt“. Übrigens ist hier Vorsicht geboten: 21|7 ist falsch, denn 21 teilt ja nicht 7.

Man kann auch ausdrücken, daß eine Zahl eine andere nicht teilt. Dazu streicht man das Zeichen | einfach durch und schreibt z.B.: 4 | 11.

Alle möglichen Teiler einer Zahl bilden zusammen die Teilermenge (Menge aller Teiler). Um diese zu bestimmen, mußt du alle Zahlen finden, durch die man die betreffende Zahl teilen kann. Ein Beispiel: 12 kann man durch 2, 3, 4 und 6 teilen, aber auch durch 1 (12:1 geht nämlich ohne Rest auf!) und auch durch 12 selbst. Daher ist

T₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

kgV und ggT

Du weißt nun schon, wie man Vielfachenmengen und Teilermengen bildet. Für manche Aufgabenstellungen ist es wichtig, gemeinsame Vielfache (oder Teiler) zweier Zahlen zu finden. Stelle Dir einmal zwei unterschiedlich große Leute vor, die nebeneinander laufen. Der eine hat eine Schrittlänge von 60 cm und der andere von 75 cm. Am Anfang sind die Füße genau gleichauf. Nach wievielen Zentimetern sind sie es zum ersten Mal wieder? Der eine hinterläßt Fußabdrücke bei 60, 120, 180, 240, 300, 360, ... cm; der andere bei 75, 150, 225, 300, 375, ... cm. Aha, das sind die Vielfachenmengen von 60 bzw. 75! Und bei 300 kommen sie zum ersten Mal bei der gleichen Zahl an. Das ist das kleinste gemeinsame Vielfache, abgekürzt kgV, der beiden Zahlen 60 und 75!.

Um das kgV zweier Zahlen zu finden, gehe also die Vielfachenmengen der Zahlen durch und finde das erste gemeinsame Element. Oder gehe die Vielfachen einer Zahl durch und überlege jedesmal, ob sie sich durch die andere teilen läßt.

Noch ein Beispiel: Gesucht ist das kgV von 12 und 15.

V₁₂ = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...}
V₁₅ = {15, 30, 45, 60, 75, 90, ...}

60 ist als erste (d.h. kleinste) gemeinsame Zahl in beiden Mengen das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 15. Man schreibt:

kgV(12; 15) = 60

 
Der ggT ist der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen. Stelle Dir vor, man möchte möglichst große Kacheln herstellen, die in die Breiten 75 cm und 125 cm genau hineinpassen. Die Kacheln passen dann genau hinein, wenn ihre Breite die Gesamtbreite teilt: Zum Beispiel könnten die Kacheln 5 cm breit sein. 5 geht nämlich genau in 75 und in 125 (5 teilt 75 und 5 teilt 125). Sie könnten aber auch 25 cm breit sein, denn 25 ist auch sowohl Teiler der 75 als auch der 125. Dies ist der größte gemeinsame Teiler, den es gibt, d.h. ggT(75;125) = 25.

Man findet den ggT am leichtesten durch Vergleich der beiden Teilermengen:

T₇₅ = {1, 3, 5, 15, 25, 75}
T₁₂₅ = {1, 5, 25, 125}

Die größte gemeinsame Zahl beider Mengen ist die 25, also:

ggT(75; 125) = 25

Übrigens findet man den ggT oft leichter mit folgendem Trick: Er ist nämlich auch immer Teiler der Differenz der beiden Zahlen! Der ggT von 72 und 68 ist 4, und 72 — 68 = 4. Aber Vorsicht: Umkehren läßt sich diese Regel nicht, denn 70—66 ist auch 4, aber ggT(70;66) = 2, nicht 4. Widerspruch? Nein, denn 2 teilt 4. So braucht man nur die Teiler der Differenz durchzugehen anstatt der Teiler großen Zahlen selbst!

Die professionelle Art, den ggT zu bestimmen, funktioniert so: Teile die eine Zahl durch die andere mit Rest. Dann teile immerzu die Zahl, durch die du zuletzt geteilt hast durch den letzten Rest, bis kein Rest mehr bleibt. Der letzte richtige Rest ist der ggT. Das geht vor allem bei sehr großen Zahlen schneller als das Finden und Vergleichen aller Teiler.
Beispiel: Gesucht ist der ggT von 416 und 325:

416 : 325 = 1 R 91
325 :  91 = 3 R 52
 91 :  52 = 1 R 39
 52 :  39 = 1 R 13   ⎯→ ggT = 13
 39 :  13 = 3 R 0.

Übrigens ist die Reihenfolge der Zahlen, deren ggT oder kgV man sucht, egal (Kommutativität), d.h. ggT(a,b)=ggT(b,a) und kgV(a,b)=kgV(b,a) für alle möglichen natürlichen Zahlen a und b.

Noch ein Trick: Das kgV kann man leicht berechnen, falls man den ggT weiß: Teile das Produkt der beiden Zahlen durch ihren ggT! Beispiel: kgV(12;18) = 12·18:ggT(12;18) = 12·18:6 = 36. Oder, besser: Teile eine der Zahlen durch den ggT und multipliziere dann mit der anderen.

Primzahlen

Viele Zahlen haben keinen Teiler außer sich selbst und 1. Diese Zahlen heißen auch Primzahlen. Da man nur mit ihnen durch Multiplikation alle anderen natürlichen Zahlen erzeugen kann, sind sie ganz besondere Zahlen, die übrigens auch die größten Mathematiker bis heute noch faszinieren und auch vor Rätsel stellen. Zum Beispiel scheint jede gerade Zahl die Summe zweier Primzahlen zu sein. Das hat ein Hobbymathematiker namens Christian Goldbach vor etwa 300 Jahren zum ersten Mal vermutet; aber noch niemand hat es je beweisen können. Zum Ausprobieren klicke →hier.

Hier eine Liste der ersten Primzahlen:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, ...

Fragen:

• Gibt es eine größte Primzahl? – Nein, es gibt unendlich viele Primzahlen!
• Kann man einer Zahl ansehen, ob sie eine Primzahl ist? – Nein, das kann man nicht, auch nicht ein Mathematiker!
• Was ist die größte bis heute bekannte Primzahl? – Sie hat etwa 10 Millionen Stellen! Schau mal auf www.mersenne.org nach (englisch). Einige Primzahlen sind eins kleiner als Zweierpotenzen: 3, 7, 31, 127, 8191... Diese heißen Mersennesche Primzahlen (nach ihrem Entdecker Marin Mersenne, auch ein Hobbymathematiker). Siehe auch →hier (deutsch). Weil es ein relativ einfaches Verfahren gibt, die Primzahleigenschaft dieser Zahlen zu überprüfen, sind die größten bekannten Primzahlen alle von dieser Art.
• 5-7, 11-13, 17-19, 29-31, diese Paare sind sogenannte Primzahlzwillinge. Gibt es unendlich viele dieser Paare? – Auch das weiß noch kein Mensch!
• Warum ist 1 keine Primzahl? Sie ist doch auch nur durch sich selbst und 1 teilbar? – Diese Frage ist gemein. Man könnte antworten, daß sie selbst ja schon 1 ist, daß also das „und“ in dem Satz gar nicht so richtig stimmt; aber diese Antwort wäre unmathematisch. Gemein ist an dieser Frage, daß es keine einfache, sondern nur eine technische Erklärung gibt, die mit der Primfaktorzerlegung zu tun hat, die weiter unten noch erläutert wird. Die 1 darf keine Primzahl sein, weil man mit ihr beim Multiplizieren keine anderen Zahlen erzeugen kann, was ja die wirklichen Primzahlen können.

 

Eine Vorstufe zur Primfaktorzerlegung ist das Finden aller Primzahlen, durch die man eine Zahl teilen kann. Diese Zahlen nennt man auch Primfaktoren.

60 hat ziemlich viele Teiler: T₆₀ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}; aber es sind nur drei Primzahlen darunter: die 2, die 3 und die 5. Mit diesen drei Zahlen kann man die 60 „zusammenmultiplizieren“: 2·2·3·5=60. Allerdings muß man die 2 doppelt verwenden.

Ein weiteres Beispiel: T₂₈₈ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288}. Nur zwei Primzahlen sind dabei (2 und 3), und tatsächlich ist 288 = 2·2·2·2·2·3·3.

Eine Zerlegung in ein Produkt von Primzahlen nennt man Primfaktorzerlegung. 2·2·2·2·2·3·3 ist die Primfaktorzerlegung von 288, denn 2·2·2·2·2·3·3=288, und es sind nur Primzahlen verwendet worden. Übrigens kann man nur mit fünf Zweien und zwei Dreien zur 288 kommen, wenn man sich auf Primzahlen beschränkt, d.h. die Primfaktorzerlegung ist eindeutig. Wenn man von der Reihenfolge beim Malnehmen absieht, denn diese ist ja egal, wie Du weißt.

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl führt man am besten so durch:

Gehe von unten aus alle Primzahlen durch (ab der 2). Wenn Du eine Primzahl gefunden hast, die Teiler der Zahl ist, dann teile die Zahl durch die Primzahl und fahre mit dem Ergebnis fort, bis eine Primzahl übrigbleibt.

Beispiel: Primfaktorzerlegung der 10150

10150 geht durch 2: 10150 : 2 = 5075
                                5075 geht weder durch 2, noch durch 3. Aber:
 5075 geht durch 5:  5075 : 5 = 1015
                                1015 geht nochmal durch 5, also:
 1015 geht durch 5:  1015 : 5 =  203
                                 203 geht nicht mehr durch 5, aber
  203 geht durch 7:   203 : 7 =   29.

                29 ist eine Primzahl!

Also: 10150 = 2·5·5·7·29

© Arndt Brünner, 15. 8. 2007