Wendetangenten

Interaktive Übung: Wendetangenten

Auf dieser Seite kann man üben, Wendetangenten einzuzeichnen (und überhaupt zu verstehen, was eine Wendetangente ist, nämlich die Tangente an einen Graphen in dessen Wendepunkt) und deren Gleichung zu berechnen. Zusätzlich soll man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, das die Wendetangente mit den Koordinatenachsen einschließt, sofern sie nicht durch den Ursprung geht oder parallel zur x-Achse verläuft.

Man wird schrittweise durch die komplette Rechnung interaktiv geführt; bei jedem Schritt bekommt man Rückmeldung, ob es stimmt; und erst wenn ein Schritt richtig ist, geht es weiter...

Gegeben ist die Funktion .

Ziehe den roten Punkt der Geraden (mit der Maus) auf den Wendepunkt der Kurve. Drehe die Gerade durch Verschieben des blauen Punkts dann so, daß die Gerade eine Tangente an die Kurve im Wendepunkt ist. Also eine Wendetangente.

Richtig!

Nun charakterisiere diesen Wendepunkt:

Es ist ein Wendepunkt mit...
lokal imaler Steigung
lokal imaler Steigung
-Kurvenübergang
-Kurvenübergang

Gut gemacht!

Nun bilde die ersten drei Ableitungen von f.

Brüche können mit dem Schrägstrich als Bruchstrich eingegeben werden, Potenzen mit dem ^-Zeichen links neben der 1. Z.B.: 1/3x^2.

f'(x) =
f''(x) =
f'''(x) =

Wie ist die notwendige Bedingung für Wendestellen?

Schreibe die zugehörige Gleichung aus und löse sie schrittweise.

In jede Zeile nur die Gleichung schreiben (keine Umformungsangabe). Für die Lösungen quadratischer Gleichungen kann die Quadratwurzel mit sqrt(...) angegeben werden, das Plusminuszeichen ± mit +- und das oder-Symbol für die beiden Lösungen mit v; Bsp.: x=-2 v x=3. Eine Numerierung/Indizierung der Lösungen (x_1/2=... oder nur x₁=...) wird nicht verstanden.

Schön.
Information: Es ist f'''(, also bestätigt sich, daß dies ein Wendepunkt mit lokal imaler Steigung ist (hinreichende Bedingung).

Nun berechne die y-Koordinate und die Steigung für die im Graph markierte Wendestelle x=

f()= f'()=

Die Tangente ist eine Gerade. Geradengleichungen sind von der Form y=mx+b, wobei m die Steigung ist. Diese Steigung hast Du bereits berechnet!
Schreibe nun diese Geradengleichung auf mit für m eingesetzter Steigung:

Setze nun in die Geradengleichung für x und y die Koordinaten des Wendepunktes ein. (Verwende * als Multiplikationszeichen, und klammere gegebenenfalls negative Faktoren ein.)

Löse diese Gleichung nach b auf.

b =

Super.
m und b sind berechnet. Nun kannst Du die Gleichung der Wendetangenten aufschreiben.

Das ist richtig.
Diese Wendetangente schließt mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck ein. In der Abbildung (rechts) ist dies nun eingezeichnet und gefärbt. Als dessen Grundseite kann man die Strecke vom Ursprung zur Nullstelle der Tangente nehmen (also den Betrag der Nullstelle) und als Höhe den Betrag des y-Achsenabschnitts. Gib g=|x₀| und h=|b| sowie den Flächeninhalt des Dreiecks (A=0,5·g·h) an.

h =
g =
A =

Alles richtig! Geschafft!

Auch Funktionen 4. Grades (mit zwei Wendepunkten).
Nur Funktionen 4. Grades mit zwei Wendepunkten.

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f' f" dazuplotten (sobald richtig eingetragen).