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Der Scheitelpunkt quadratischer Funktionen

Auf dieser Seite wird die Symmetrie von quadratischen Funktionen bewiesen und eine Formel für die Koordinaten des Scheitelpunktes hergeleitet. Außerdem findet sich →unten ein Formular zum Berechnen des Scheitelpunktes, der Scheitelpunktform und der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Alle quadratischen Funktionen können in der Normalform f(x) = ax² + bx + c geschrieben werden, wobei a, b und c konstante Zahlen darstellen, die man Koeffizienten oder Parameter nennt. Außerdem soll gelten: a≠0, denn für a=0 fällt der quadratische Summand weg und es handelt sich um eine lineare oder sogar konstante Funktion (wenn auch b=0).

Der Graph aller quadratischer Funktionen f(x)=ax²+bx+c (mit a≠0) ist eine Parabel. Allen Parabeln ist u.a. gemeinsam, daß sie entweder nach oben oder nach unten offen sind, einen tiefsten oder höchsten Punkt besitzen, den man Scheitelpunkt nennt, und offensichtlich achsensymmetrisch zu einer vertikalen Gerade sind, die senkrecht durch diesen Scheitelpunkt geht.

Symmetrie

Wir wollen nun schauen, ob die Funktion f(x)=ax²+bx+c wirklich symmetrisch ist. Symmetrie bedeutet, daß links und rechts vom Symmetriezentrum bei gleichem Abstand der x-Werte vom Zentrum immer gleiche Funktionswerte auftreten.

x_S sei der x-Wert dieses Zentrums. Wenn d der Abstand eines x-Wertes von diesem Zentrum ist, dann ist x=x_S+d. Der zu ihm symmetrische Punkt x' hat den Wert x'=x_S-d.

Vorausgesetzt, x_S ist wirklich Symmetriezentrum, dann muß für alle d≠0 gelten:

f(x_S-d) = f(x_S+d)

Für d=0 ist diese Gleichung immer richtig, d.h. auch für alle Stellen, die kein Symmetriezentrum darstellen. Daher können und müssen wir im folgenden diesen Fall ausschließen und voraussetzen, daß d≠0.

Sei also d≠0. Jetzt schreiben wir f(x_S-d) = f(x_S+d) mit f(x):=ax²+bx+c

              f(xS-d)   =   f(xS+d)

a(xS-d)² + b(xS-d) + c  =  a(xS+d)² + b(xS+d) + c

a(xS² - 2dxS + d²) + bxS - bd + c = a(xS² + 2dxS + d²) + bxS + bd + c

axS² - 2adxS + ad² + bxS - bd + c = axS² + 2adxS + ad² + bxS + bd + c

-2adxS - bd = 2adxS + bd       | -2adxS + bd

     -4adxS = 2bd              | :(-4ad)
                                    (möglich wegen d≠0 und a≠0)
               -b
        xS  =  ———
               2a

Offensichtlich existiert also ein solches Symmetriezentrum unabhängig von d, falls d≠0. Da das Resultat nur von a und b abhängt, haben wir damit sogar schon eine Formel für x_S gewonnen. Die Formel für y_S, also die y-Koordinate des Scheitelpunktes, erhält man durch Berechnung von f(x_S):

               -b         b²       -b            b²    b²           b²
yS = f(xS) = f( —— ) =  a ———  +  b ——  +  c  =  ——— - ——— + c = c - ——
               2a        4a²       2a            4a    2a           4a

Die Koordinaten des Scheitelpunktes S(x_s|y_s) einer quadratischen Funktion  f(x) = ax² + bx + c  lassen sich somit berechnen durch:

          -b                       b²
    xS =  ———             yS = c - ———
          2a                       4a

Falls in der quadratischen Gleichung das x² ohne Faktor auftritt, d.h. a=1 ist, schreibt man anstelle von  f(x) = ax² + bx + c  meist   f(x) = x² + px + q. Die Scheitelpunktformeln lauten dann so:

            p                       p²
    xS = - ———            yS = q - ———
            2                       4

Im folgenden Script kann zu beliebigen quadratischen Funktionen der Scheitelpunkt berechnet werden. Die Funktionen werden dabei sogar zuerst automatisch in Normalform gebracht, falls es sich um quadratische oder lineare Funktionen handelt. Alternativ zur direkten Berechnung der Scheitelkoordinaten mit den Formeln kann die Scheitelpunktform optional auch mittels quadratischer Ergänzung erzeugt werden.

Die Funktionen können auf der Plotter-Seite gezeichnet werden. Dort können auch Extremwerte für nichtquadratische Funktionen berechnet werden.

Anwendungen

• Scheitelpunktform der Funktionsgleichung
  Die Scheitelpunktform von f(x)=ax²+bx+c ist f(x) = a·(x - x_s)² + y_s. An ihr lassen sich sowohl die Koordinaten des Scheitelpunktes als auch der Parameter a sofort ablesen, womit die Parabel leicht gezeichnet werden kann. Diese Form ist außerdem von Vorteil, wenn die Parabel verschoben werden soll, denn man verschiebt die Parabel durch Verschieben des Scheitelpunktes.

  Um eine quadratische Funktion in ihrer Scheitelpunktform aufzuschreiben, kann man die quadratische Ergänzung durchführen oder die Koordinaten des Scheitelpunktes mit der Formel ermitteln, um sie in die o.g. Form einzusetzen. Siehe auch nächstes Beispiel.

  Die oben gewonnenen Formeln für die Koordinaten des Scheitelpunktes lassen sich auch gewinnen durch quadratische Ergänzung mit allgemeinen Koeffizienten:

  f(x) = ax² + bx + c                                  |  : a
  f(x)/a = x² + b/a·x + c/a                            |  quadratische Ergänzung: (b/(2a))²
  f(x)/a = x² + b/a·x + (b/(2a))² + c/a - (b/(2a))²
  f(x)/a = (x + b/(2a))² + c/a - (b/(2a))²             |  · a
  f(x) = a(x + b/(2a))² + c - b²/(4a)
       = a(x - ( -b/(2a) )² + c-b²/(4a)

• Verschieben einer Parabel
  Um eine Parabel parallel zur x-Achse nach links oder rechts zu verschieben, benötigt man in der Regel die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung. Dazu bestimmt man z.B. mit den oben dargestellten Formeln die Koordinaten des Scheitelpunktes S(x_S|y_S) und setzt sie zusammen mit dem Parameter a aus der Funktionsgleichung in die Form f(x) = a(x - x_S)² + y_S ein. Hierbei muß besonders das negative Vorzeichen vor dem x_S in der Scheitelpunktform in Verbindung mit dem Vorzeichen von x_S selbst beachtet werden. Durch das Minus in der Form steht dort immer das entgegengesetzte Vorzeichen von x_S selbst.

  Hat man den Scheitelpunkt berechnet, so braucht man nur seine Koordinaten zu verschieben, das Resultat in Scheitelpunktform aufzuschreiben und gegebenenfalls diese wieder in Normalform bringen.

  Verschiebung nach rechts: x_S um den Abstand erhöhen; Verschiebung nach links: x_S um den Abstand vermindern; nach oben: y_S um den Abstand erhöhen; nach unten: y_S um den Abstand vermindern.

  Beispiel:
  Die Parabel f(x) = -2x² - 3x + 7 soll um 4 nach rechts und um 15 nach unten verschoben werden.
  Zuerst wird ihr Scheitelpunkt berechnet: x_S = -b/(2a) = -(-3)/(2·(-2)) = -3/4 = -0,75
  y_S = c - b²/(4a) = 7 - (-3)²/(4·(-2)) = 7 - 9/(-8) = 7 + 9/8 = 65/8 = 8,125
  Scheitelpunktform: f(x) = a(x - x_S)² + y_S = -2(x + 0,75)² + 8,125.
  Die Verschiebung um 4 nach rechts verschiebt den Scheitelpunkt nach x'_S = -0,75 + 4 = 3,25. Die Verschiebung um 15 nach unten nach y'_S = 8,125 - 15 = -6,875.
  Die Scheitelpunktform der so verschobenen Parabel ist damit f'(x) = -2(x - 3,25)² - 6,875. Beachte die Vorzeichen!
  Ausmultiplizieren ergibt die Standardform: f'(x) = -2(x - 3,25)² - 6,875 = -2(x² - 6,5x + 10,5625) - 6,875 = -2x² + 13x - 28

• Extremwertaufgaben
  Oft gibt es Problemstellungen, in denen man wissen möchte, wann eine bestimmte Funktion ihren größten oder auch kleinsten Wert annimmt. Wenn die Funktion eine quadratische ist, kann diese Stelle mit der Scheitelpunktformel berechnet werden. (Sonst benötigt man dazu Differentialrechnung.)

  Beispiel:
  Mit einem 5m langen Fliegendrahtnetz will man an einer Hauswand einen rechteckigen Kaninchenauslauf eingrenzen. Der Auslauf habe die Länge x und die Breite y. Da die Hauswand bereits eine Längenbegrenzung abgibt, ergibt sich für die Aufteilung der 5m auf die drei übrigen Seiten: x+2y=5.
  Zu überlegen wäre nun, bei welcher Länge der Flächeninhalt des Auslaufs maximal groß wird.
  Für den Flächeninhalt F gilt F = x·y. Dies ist die Hauptbedingung. Wir suchen den maximalen Wert von F. Leider enthält diese „Formel für F“ noch zwei Variablen (x und y). Wir können aber eine Variable eliminieren, indem wir die Gleichung x+2y=5 („Nebenbedingung“) nach y auflösen und damit y in der Flächengleichung ersetzen:
  y = 2,5 - 0,5x
  F = x·y = x·(2,5 - 0,5x) = 2,5x - 0,5x²

  Das ist eine quadratische Funktion, d.h. man kann ihr Extremum (den kleinsten/größten Wert) über ihren Scheitelpunkt errechnen. Wir lesen ab: a=-0,5; b=2,5 und c=0. Wegen a<0 ist die Parabel nach unten geöffnet; ihr Scheitelpunkt ist daher ein Maximum. Nun berechnet man x_max als x-Koordinate des Scheitelpunktes: x_max = x_s = -b/(2a) = -2,5/(-1) = 2,5m. Die zweite Koordinate („y_s“) des Scheitelpunktes ist in diesem Falle die maximale Fläche F_max (nicht etwa die maximale Breite, die wir mit y bezeichnet hatten, denn die Funktionsgleichung lautet ja F = -0,5x² + 2,5x und nicht y = -0,5x² + 2,5x): F_max = c - b²/(4a) = 0 - (2,5m)²/(4·(-0,5)) = 6,25m²/2 = 3,125m². Die Breite des maximalen Auslaufs erhält man durch y = 2,5m - 0,5·x_s = 1,25m.

© Arndt Brünner, 27. 3. 2003
Version: 1. 2. 2004
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