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Lösen von Gleichungen üben

Rechner

® Allgemeines zum Lösen von linearen Gleichungen
® Allgemeines zum Lösen von quadratischen Gleichungen
® Allgemeines zum Auflösen von Klammern
  
® Übungen zum Lösen quadratischer Gleichungen mit quadratischer Ergänzung
® Übungen zum Lösen quadratischer Gleichungen mit der p-q-Formel

Weitere Erklärungen

Ziel der Umformungen ist, daß auf einer Seite vom Gleichheitszeichen nur x steht, auf der anderen Seite eine Zahl: die Lösung. Falls während der Umformungen das x verschwindet, so gibt es zwei Fälle: Entweder ist die entstandene Gleichung wahr (z.B.: 5=5), dann besteht die Lösungsmenge aus allen Zahlen der Grundmenge (Eingabe: L=R, L=Q oder L=G). Oder die Gleichung ist falsch (z.B.: 2=5), dann ist die Lösungsmenge leer (Eingabe: L={} ).

Quadratische Gleichungen können z.B. mit quadratischer Ergänzung gelöst werden. Das Ziehen der Quadratwurzel von Radikanden >0 ist keine Äquivalenzumformung und erfordert ab der nächsten Zeile eine Fallunterscheidung, die man wie gewohnt mit dem Zeichen v schreiben muß. Das Ziehen der Wurzel muß/kann in der rechten Spalte nicht angegeben werden. Innerhalb der Gleichung können Wurzeln mit sqr() geschrieben werden. Das Zeichen ± steht zur Verfügung: Man kann es erzeugen, indem man Alt gedrückt hält und dazu auf dem Nummernfeld den zugehörigen Ascii-Code 0177 eingibt. Die Gleichung wird jedoch nach der Eingabe automatisch in die beiden Fälle gesplittet.

Die Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen muß in der Form L={-3; 5} angegeben werden, auch bei nur einer Lösung; zwei Lösungen müssen mit einem Semikolon getrennt werden. Die geschweiften Klammern erhält man mit den Tastenkombinationen AltGr+7 und AltGr+0 bzw. Strg+Alt+7 und Strg+Alt+0.

Ob in den Gleichungen "binomische Formeln" oder Klammer-mal-Klammer-Ausdrücke vorkommen dürfen, wird über das Optionsfeld bei den Übungen zur Auflösung von Klammern geregelt.

Hinweise:

Das Programm ist sehr flexibel bezüglich der Eingabe und der Lösungswege. Die Terme können wie vom Schreiben gewohnt eingegeben werden, d.h. z.B. ohne Malpunkte und in beliebiger Reihenfolge (Kommutativität). x² kann mit dem Sonderzeichen (AltGr+2), als x^2, als xx oder einfach als x2 eingegeben werden. Die Eingabe wird beim Überprüfen automatisch formatiert.

Leider kann außer den unten genannten Tests, deren Ergebnis nur aussagt, ob man richtig oder nicht richtig umgeformt hat, noch keine echte Fehleranalyse durchgeführt werden, nichts Detailliertes über den gemachten Fehler ausgesagt werden.
Zur Vermeidung von Frustration sollten also Grundtechniken wie das Auflösen von Klammern (siehe unten!) oder das Zusammenfassen gleichartiger Summanden einzeln geübt werden und mit einfachen Beispielen begonnen werden.

Über die entsprechende Schaltfläche können auch eigene Aufgaben eingegeben und mit gleicher Unterstützung des Programms gelöst werden.

Zum schriftlichen Üben gibt es unten die Möglichkeit, eine Seite mit beliebig vielen Gleichungen und/oder Klammertermen zu erzeugen, die auch die Lösungen enthält und ausgedruckt werden kann. Bei jedem Aufruf dieser Funktion werden unterschiedliche Gleichungen und Terme erzeugt!

Das Skript überprüft sowohl die Übereinstimmung der Lösungsmengen zwischen der ursprünglichen und der umgeformten Gleichung (also die Äquivalenz) als auch die Richtigkeit der angegebenen Umformung(en) für beide Seiten der Gleichung. Beides beruht auf numerischen Verfahren: Die Lösungsmenge wird bestimmt durch Nullstellenapproximierung der Funktion LS-(RS) durch das erweiterte Newtonverfahren, wobei LS und RS für linke und rechte Seite der Gleichung stehen. Die Plausibilität der Umformungsangaben op. wird mit je zehn eingesetzten x-Werten überprüft, wobei getestet wird, ob LS --op--> LS' und RS --op--> RS' ist, wobei LS' und RS' die umgeformten Seiten der Gleichung darstellen.

Die vom Script erzeugten Übungsgleichungen sind verläßlich linear, wenn dieser Gleichungstyp gewählt wurde, d.h. alle möglicherweise entstehenden quadratischen Summanden heben sich im Laufe der Umformung wieder gegenseitig auf. Die Lösungen sind ganzzahlig oder Dezimalbrüche mit maximal drei Kommastellen (Achtel); in keinem Fall periodisch, obgleich das Programm auch das Rechnen mit "Pseudobrüchen", wie 1/7, ermöglichen würde. (Intern wird der Bruch "ausgerechnet", also in eine Dezimalzahlentwicklung dividiert. Die Überprüfung hat eine gewisse Toleranz gegen Rundungsfehler, läßt also das Verwenden der Bruchschreibweise in kleinerem Rahmen zu. Eine als Bruch angegebene Lösung wird jedoch leider nicht als solche erkannt. Das werde ich wohl noch ändern müssen.)

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Auflösen von Klammern üben

Mit der Schaltfläche "Neuer Term" wird ein neuer Klammerterm erzeugt, der im rechten Fenster aufgelöst und - wenn nötig - vereinfacht werden soll. Das kann auch in mehreren Schritten erfolgen. Im Moment gibt es leider noch keine differenzierte Fehleranalyse, sondern nur die Bewertungen "FALSCH" und "OK".

	=

1. 2. Binomische Formel 3.	Klammer·Klammer	Minusklammern	Faktor·Klammer
Zusätzlicher Faktor möglich

® Allgemeines zum Auflösen von Klammern

Faktorisieren üben

Mit der Schaltfläche "Neuer Term" wird ein neuer Term erzeugt, der im rechten Fenster faktorisiert, also mit Klammern als Produkt geschrieben werden soll. Das kann auch hier in mehreren Schritten erfolgen. Im Moment gibt es leider noch keine differenzierte Fehleranalyse, sondern nur die Bewertungen "FALSCH" und "OK".

	=

1. 2. Binomische Formel 3.

Faktor·Binom

Faktor·Klammer

Bitte Programmfehler unter Angabe der Adresse dieser Seite und der Eingaben und Einstellungen per eMail an arndt.bruenner@t-online.de melden.

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