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Quadratische Funktionen, ihre Funktionsterme und ihre Graphen (Parabeln) verstehen mit interaktiven Übungen

Auf dieser Seite kann der Zusammenhang zwischen quadratische Funktionen und ihren Graphen, d.h. Parabeln, geübt und besser verstanden werden.

Thematisch verwandte Seiten:   → Erläuterungen und Rechner zur Scheitelpunktform
→ quadr. Funktion durch 3 Punkte bestimmen
→ u.a. quadr. Ergänzung (und →Übungen dazu)

Im nebenstehenden Koordinatensystem ist zu Beginn eine Normalparabel (Streckfaktor in y-Richtung: a=1) abgebildet. Ihre Funktionsgleichung ist bekanntlich f(x)=x². Der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt sind markiert.

Die Aufgabe besteht darin, die Parabel nun gemäß der Vorgabe zu verschieben (an ihrem Scheitelpunkt) und ihre Streckung mit dem anderen Punkt anzupassen.

(Hinweis: Die Punkte werden an einem 0,5-Einheiten-Raster gefangen, denn sonst könnte man sie nicht exakt justieren. Das Raster wird automatisch verfeinert, wenn die Vorgaben (gebrochene Werte) das erfordern. Der dargestellte Bereich kann wie üblich auf diesen Matheseiten per Maus verschoben oder gezoomt werden.)

 

Aufgabe :
 
 − Verschiebe den Scheitelpunkt nach S().
 − Der Streckfaktor soll a= sein.

Scheitelpunktformen anzeigen...

Richtig!

Die Parabel verändert übrigens ihre Farbe interaktiv in Richtung grün, je besser sie der gewünschten Form ähnelt.
Wenn sie richtig ist, erscheint ein Button, mit dem eine neue Aufgabe erzeugt werden kann. (Die Aufgaben werden jedesmal etwas schwerer.)

Die Scheitelpunktform:   f(x) = a·(x − xs)2 + ys

... ist eine Darstellung des Funktionsterms, die direkt durch Manipulationen am Funktionsterm der Normalparabel (f(x)=x²) entsteht, nämlich

  1. aus der Verschiebung der Normalparabel f(x)=x2 um xs nach rechts. x wird dafür durch x-xs ersetzt) → f(x)=(x−xs)2
  2. aus der Streckung mit dem Faktor a (Multiplikation von (...)2 mit a) → f(x)=a·(x−xs)2,
  3. aus der Verschiebung um ys nach oben: → f(x)=a·(x−xs)2+ys.

Damit verschiebt sich auch der Scheitelpunkt vom Ursprung an die Position S(xs|ys), also an die Position des gewünschten Scheitelpunkts.

Bei Verschiebungen um negative Werte ändern sich natürlich jeweils die Vorzeichen. Zu beachten ist dabei vor allem, daß im Term x−xs für negative xs aus dem Minus ein Plus wird, denn beispielsweise −(−7) ist natürlich +7.

Zum besseren Verständnis kann man bei Aufgaben 1 (oberhalb) die Option Scheitelpunktformen anzeigen aktivieren, die Parabel an den beiden Kontrollpunkten verändern und die Anzeige der Scheitelpunktform für den Graphen betrachten, die bei jeder Veränderung sofort automatisch berechnet wird.

 

Aufgaben 2:

 

a) Scheitelpunkt S() und Streckfaktor a= sind gegeben,

    gesucht ist die zugehörige Scheitelpunktform: f(x) =   (* für mal, ^2 für hoch 2)

b) Scheitelpunktform  f(x) =   ist gegegeben,

    gesucht sind: S(|) und a=

Aufgabe :

Hier soll man die Parabel an ihren beiden blauen Kontrollpunkten so verschieben und strecken, daß ihre Funktionsgleichung der gegebenen Scheitelpunktform entspricht:

 

 

Richtig!

Aufgabe 4.

Wandle die Scheitelpunktform in die Standardform um (ausmultiplizieren und zusammenfassen) bzw. die Standardform in die Scheitelpunktform. Nach jeder Betätigung der Eingabetaste (d.h. nach Abschluß einer Zeile) findet eine Überprüfung jeder Zeile statt.

Schreibe immer Gleichungen! Für f(x) darf man hier auch y schreiben. Divisionszeichen ist /, Multiplikationszeichen ist *, hoch 2 mit ^2.

Unterhalb soll neben den Koordinaten des Scheitelpunkts und dem Streckfaktor noch der Wertebereich Wf der Funktion in Intervallschreibweise angegeben werden. Das ist der Bereich aller vorkommender Funktionswerte der Funktion. Man kann diesen Bereich an sich direkt am Graphen ablesen oder auch an der Scheitelpunktform, nämlich, falls a>0, von einschließlich ys bis ∞ oder von -∞ bis einschließlich ys, falls a<0.
Beispiele: Wf = [-4; ∞] für f(x)=2(x-3)²-4 und Wf = [-∞; 1/7] für f(x)=-(x-3)²+1/7.
Schreibe inf oder oo (zwei kleine o) für ∞.

Scheitelpunkt- → Standardform
Standard- → Scheitelpunktform
 

S(|)    a=     Wf = []    

 

graphische Veranschaulichung des Wertebereichs Wf
 
Die Parabel selber verändern und damit die Funktion erzeugen
 
    Rasterfang: 1/

Aufgabe 5.

Gesucht ist hier die Funktionsgleichung (in Scheitelpunktform) einer quadratischen Funktion zu gegebenem Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt. Das Verfahren kann hier schrittweise eingeübt werden.

Gegeben sind der Scheitelpunkt ein weiterer Punkt einer Parabel, gesucht ist die zugehörige Scheitelpunktform f(x)=a(x-xs)2+ys.

(1) Setze die Scheitelpunktkoordinaten in die Scheitelpunktform ein.
    Auch die Vor- bzw. Rechenzeichen (+ oder -) vor xs und ys müssen ergänzt werden.		 f(x) = a·(x )2    
(2) Setze die Koordinaten von P ein. = a·( - xs)2 + ys
(3) Löse nach a auf:a =
(4) Schreibe die Scheitelpunktform hin:f(x) =

 

© Arndt Brünner, 3. 9. 2022
Version: 11. 10. 2022