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Quadratische Funktion durch 3 Punkte finden
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→ Gleich zum Rechner
Auf dieser Seite wird beschrieben, wie man eine Parabel findet, die durch drei
gegebene Punkte geht. Am nebenstehenden Applet ist zu sehen, daß durch drei
Punkte mit verschiedenen x-Werten offensichtlich stets eine Parabel gezeichnet werden kann (sofern die drei Punkte
nicht auf einer gemeinsamen Gerade liegen).
→Unten befindet sich
ein Rechner, der die Funktionsgleichung zu drei vorgebbaren Punkten findet.
Gesucht ist eine quadratische Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c.
Da f(x)=y ist, müssen die Koordinatenpaare jedes gegebenen Punktes (x|y) die Funktionsgleichung
erfüllen, d.h. (x|y) = (x|f(x)).
Wenn man die Koordinaten der drei Punkte nacheinander in die Funktionsgleichung einsetzt,
erhält man drei (lineare!) Gleichungen mit jeweils drei Unbekannten (a, b und c), mithin
ein lineares Gleichungssystem, das nach den Unbekannten gelöst werden kann. |
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Die Punkte und der Darstellungsbereich
können mit der Maus verschoben werden. |
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Beispiel
geg.: A(-1|12), B(2|15), C(5|-18)
ges.: a, b, c ∈ R, so daß A, B und C auf y = ax² + bx + c liegen.
Setze die Koordinaten von A in die Funktion ein: 12 = a·(-1)² + b·(-1) + c
= a - b + c
" - " - " B " - " 15 = a·2² + b·2 + c
= 4a + 2b + c
" - " - " C " - " -18 = a·5² + b·5 + c
= 25a + 5b + c
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a - b + c = 12 |
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| 4a + 2b + c = 15 | -4·I |
| 25a + 5b + c = -18 | -25·I |
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a - b + c = 12 |
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| 6b - 3c = -33 | :6 |
| 30b - 24c = -318 | |
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a - b + c = 12 |
| +II |
| b - 0,5c = -5,5 | |
| 30b - 24c = -318 | -30·II |
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a + 0,5c = 6,5 |
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| b - 0,5c = -5,5 | |
| -9c = -153 | :(-9) |
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a + 0,5c = 6,5 |
| -0,5·III |
| b - 0,5c = -5,5 | +0,5·III |
| c = 17 | |
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a = -2 |
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| b = 3 |
| c = 17 | |
Ergibt: f(x) = -2x² + 3x + 17
Probe für Punkt A: -2·(-1)² + 3·(-1) + 17 = -2 - 3 + 17 = 12 OK
B: -2·2² + 3·2 + 17 = -8 + 6 + 17 = 15 OK
C: -2·5² + 3·5 + 17 = -50 + 15 + 17 = -18 OK
Löst man das Gleichungssystem für den allgemeinen Fall, also für die Punkte
P1(x1|y1), P2(x2|y2) und P3(x3|y3), so erhält man eine Formel für die
Koeffizienten:
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x1²a + x1b + c = y1 |
| :x1² |
| x2²a + x2b + c = y2 | |
| x3²a + x3b + c = y3 | |
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a + x1/x1²·b + 1/x1²·c = y1/x1² |
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| x2²·a + x2·b + c = y2 | -x2²·I |
| x3²·a + x3·b + c = y3 | -x3²·I |
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a + 1/x1·b + 1/x1²·c = y1/x1² |
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| (x2-x2²/x1)·b + (1-x2²/x1²)·c = y2-x2²y1/x1² | |
| (x3-x3²/x1)·b + (1-x3²/x1²)·c = y3-x3²y1/x1² | |
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a + 1/x1·b + 1/x1²·c = y1/x1² |
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| (x1x2-x2²)/x1·b + (x1²-x2²)/x1²·c = (x1²y2-x2²y1)/x1² | ·(x1/(x1x2-x2²) |
| (x1x3-x3²)/x1·b + (x1²-x3²)/x1²·c = (x1²y3-x3²y1)/x1² | |
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a + 1/x1·b + 1/x1²·c = y1/x1² |
| -1/x1·II |
| b + (x1²-x2²)/(x1²x2-x1x2²)·c = (x1²y2-x2²y1)/(x1²x2-x1x2²) | |
| (x1x3-x3²)/x1·b + (x1²-x3²)/x1²·c = (x1²y3-x3²y1)/x1² | -(x1x3-x3²)/x1·II |
usw.
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a = (x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2))/((x1-x2)(x1-x3)(x3-x2)) |
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| b = (x1²(y2-y3)+x2²(y3-y1)+x3²(y1-y2))/((x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)) | |
| c = (x1²(x2y3-x3y2)+x1(x3²y2-x2²y3)+x2x3y1(x2-x3))/((x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)) | |
Mit den so gewonnenen Koeffizienten a, b und c stellt sich die Formel für die
x-Koordinate des Scheitelpunktes (siehe →hier) so dar:
xS = (x2²(y3 - y1) - x1²(y3 - y2) - x3²(y2 - y1))/(2(x2(y3 - y1) - x1(y3 - y2) - x3(y2 - y1)))
Mit ihr ist es möglich, aufgrund dreier Punkte einer Parabel die Stelle ihres Extremwerts
(=Scheitelpunkt) direkt zu berechnen.
Ist der Abstand der x-Werte konstant d, und gilt x1+d=x2=x3-d,
so reduziert sich dies zu:
xS = x2 + d/2·(y3 - y1)/(2y2 - y1 - y3)
Beispiel: P1(-4|-2), P2(1|10), P3(6|7), also ist d=5, und
xS = x2 + d/2·(y3 - y1)/(2y2 - y1 - y3) =
1 + 2,5·(7 - (-2))/(20 - (-2) - 7) = 1 + 2,5·9/15 = 2,5