Der Satz des Thales

Der Satz des Thales von Milet (um 625 v.Chr — um 547 v. Chr.) besagt, daß Dreiecke, deren längste Seite der Durchmesser eines Kreises ist, genau dann rechtwinklig sind, wenn der dritte Punkt auf dem Bogen des Kreises liegt (siehe Zeichnung).

Um den Satz zu beweisen, denkt man sich vom Mittelpunkt des Kreises, also vom Mittelpunkt M der längsten Seite des Dreiecks, eine Strecke zum dritten Punkt C. Dadurch entstehen zwei Teildreiecke AMC und MBC.

Die drei Strecken AM, BM und CM sind jeweils Radien des Kreises und damit alle gleichlang.

Da beide Teildreiecke (AMC und MBC) jeweils zwei dieser Radien als Seiten haben, müssen beide gleichschenklig sein. Gleichschenklige Dreiecke besitzen zwischen den gleichen Schenkeln und der dritten Strecke je zwei gleiche Winkel.
In der Zeichnung gilt also:  α = μ  und  δ = ε.

Nun gilt in jedem Dreieck der Satz, daß die Summe der Innenwinkel 180° beträgt; so auch im Dreieck ABC. Die Innenwinkel diese Dreiecks sind α, δ, sowie ε und μ.
Daher muß gelten:

α + δ + ε + μ = 180°

Da α = μ und δ = ε , kann man auch schreiben:

μ + ε + ε + μ = 180°

Zusammengefaßt:

2μ + 2ε = 180°

Beide Seiten der Gleichung durch 2 geteilt:

μ + ε = 90°

Und damit ist bewiesen, daß der Innenwinkel des Dreiecks ABC beim Punkt C 90° betragen muß.

Im folgenden Applet kann der obere Punkt des Dreiecks mit der Maus verschoben werden. Man kann ihn am Kreis fixieren oder auch teilweise (mit "Fangbereich") oder ganz lösen, um zu sehen, wie sich die Winkel bei Veränderungen der Situation ändern.

Interaktive Graphik zur Verdeutlichung des Satzes von Thales

Der obere Eckpunkt des Dreiecks kann mit der Maus verschoben werden.

Weiterer Beweis

g || CB α := α1 + α2 Es gilt: γ ′ + α1 + α2 + β′ = 180° (Winkelsumme ACB) β = β′ und γ = γ ′ (Wechselwinkel), damit ist auch γ + α1 + α2 + β = 180° Die Dreiecke ABM und AMC sind gleichschenklig, daher gelten b = a2 und g = a1 und somit α1 + α1 + α2 + α2 = 180°. Wegen α1 + α2 = α, ist 180° = α1 + a1 + α2 + α2 = 2α und damit α=90°.