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Die folgenden Beispiele werden jeweils nach allen Möglichkeiten behandelt. Dadurch wird klar, daß es viele Wege gibt, die nach Rom führen. Manche sind kurz und einfach, manche eher lang und verschlungen und voller Gefahren. Ja nach Geschmack wähle man den eigenen Weg!
Theoretisch gibt es für die beiden beprochenen Verfahren insgesamt sechs verschiedene Möglichkeiten. Beim Gleichsetzungsverfahren kann man sich für jede der beiden Variablen entscheiden (2 Möglichkeiten), beim Einsetzungsverfahren kann man jede der Gleichungen nach jeder der Variablen auflösen und in die jeweils andere Gleichung einsetzen (4 Möglichkeiten).
Falls beide Gleichungen sehr leicht nach der selben Variablen aufgelöst werden können oder möglicherweise bereits so vorliegen, verwendet man das Gleichsetzungsverfahren. Ist eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst, die andere jedoch nicht, so bietet sich eher das Einsetzungsverfahren an.
| |
3y = -6x + 51 | |
| 3x = -y + 17 |
Gleichsetzungsverfahren
Auflösen nach x
I: 3y = -6x + 51 | -51
3y - 51 = -6x | :(-6)
I': -0,5y + 8,5 = x
II: 3x = -y + 17 | :3
II': x = -1/3y + 17/3
Gleichsetzen:
I'=II': -0,5y + 8,5 = -1/3y + 17/3 | ·3
-1,5y + 25,5 = -y + 17 | + 1,5y - 17
8,5 = 0,5y | ·2
17 = y
in I': x = -0,5y + 8,5 = -0,5·17 + 8,5 = 0
Auflösen nach y
I: 3y = -6x + 51 | :3
I': y = -2x + 17
II: 3x = -y + 17 | +y -3x
II': y = -3x + 17
I'=II': -2x + 17 = -3x + 17 | +3x - 17
x = 0
in I': y = -2x + 17 = 17
Einsetzungsverfahren
Erste Gleichung nach x auflösen
I: 3y = -6x + 51 | -51
3y - 51 = -6x | :(-6)
I': -0,5y + 8,5 = x
in II: 3(-0,5y + 8,5) = -y + 17
-1,5y + 25,5 = -y + 17 | + 1,5y - 17
8,5 = 0,5y | ·2
17 = y
in I': x = -0,5y + 8,5 = -0,5·17 + 8,5 = 0
Erste Gleichung nach y auflösen
I: 3y = -6x + 51 | :3
I': y = -2x + 17
in II: 3x = -(-2x + 17) + 17
3x = 2x - 17 + 17
3x = 2x | - 2x
x = 0
in I': y = -2x + 17 = -2·0 + 17 = 17
Zweite Gleichung nach x auflösen
II: 3x = -y + 17 | :3
II': x = -1/3y + 17/3
in I: 3y = -6(-1/3y + 17/3) + 51
3y = 2y - 34 + 51
3y = 2y + 17 | -2y
y = 17
in II': x = -1/3y + 17/3 = -1/3·17 + 17/3 = 0
Zweite Gleichung nach y auflösen
II: 3x = -y + 17 | +y -3x
II': y = -3x + 17
in I: 3(-3x + 17) = -6x + 51
-9x + 51 = -6x + 51 | +9x -51
0 = 3x | : 3
0 = x
in II': y = -3·0 + 17 = 0
Probe:
I: 3y = -6x + 51
3·17 = -6·0 + 51
51 = 51 OK
II: 3x = -y + 17
3·0 = -17 + 17
0 = 0 OK
| |
4b - 7 = a | |
| -12b - 23a = 31 |
Gleichsetzungsverfahren
Auflösen nach a
I: 4b - 7 = a ( liegt netterweise bereits so vor!)
II: -12b - 23a = 31 | +12b
-23a = 12b + 31 | :(-23)
II': a = -12/23·b - 31/23 (Mit Brüchen rechnen ist letztlich viel einfacher!)
I=II': 4b - 7 = -12/23·b - 31/23 | ·23 (und schon sind die Brüche wieder weg!)
92b - 161 = -12b - 31 | +12b +161
104b = 130 | :104
b = 1,25
in I: a = 4b - 7 = 4·1,25 - 7 = -2
Auflösen nach b
I: 4b - 7 = a | +7
4b = a + 7 | :4
I': b = 0,25a + 1,75
II: -12b - 23a = 31 | + 23a
-12b = 23a + 31 | :(-12)
II': b = -23/12·a - 31/12
I'=II': 0,25a + 1,75 = -23/12·a - 31/12 | ·12 (weg mit den Nennern)
3a + 21 = -23a - 31 | + 23a -21
26a = -52 | : 26
a = -2
in I': b = 0,25a + 1,75 = 0,25·(-2) + 1,75 = -0,5 + 1,75 = 1,25
Einsetzungsverfahren
Erste Gleichung nach a auflösen
Auflösen erübrigt sich, da schon so gegeben J
in II: -12b - 23(4b - 7) = 31
-12b - 92b +161 = 31 | -161
-104b = -130 | :(-104)
b = 1,25
in I: a = 4b - 7 = 4·1,25 - 7 = -2
Erste Gleichung nach b auflösen
I: 4b - 7 = a | +7
4b = a + 7 | :4
I': b = 0,25a + 1,75
in II: -12(0,25a + 1,75) - 23a = 31
-3a - 21 - 23a = 31 | + 21
-26a = 52 | :(-26)
a = -2
in I': b = 0,25a + 1,75 = 0,25·(-2) + 1,75 = 1,25
Zweite Gleichung nach a auflösen
II: -12b - 23a = 31 | +12b
-23a = 12b + 31 | :(-23)
II': a = -12/23·b - 31/23
Einsetzen in I ist hier identisch mit Gleichsetzen,
weil in I a alleine rechts steht:
in I: 4b - 7 = -12/23·b - 31/23 | ·23
92b - 161 = -12b - 31 | +12b +161
104b = 130 | :104
b = 1,25
in II': a = -12/23·b - 31/23
= -12/23·1,25 - 31/23 = -12/23·5/4 - 31/23
= -15/23 - 31/23 = -46/23 = -2
besser in I:
a = 4b - 7 = 4·1,5 - 7 = -2
Zweite Gleichung nach b auflösen
II: -12b - 23a = 31 | + 23a
-12b = 23a + 31 | :(-12)
II': b = -23/12·a - 31/12
in I: 4(-23/12·a - 31/12) - 7 = a
-23/3·a - 31/3 - 7 = a | ·3
-23a - 31 - 21 = 3a | +23a
-52 = 26a | :26
-2 = a
in II': b = -23/12·a - 31/12
= -23/12·(-2) - 31/12 = 46/12 - 31/12 = 15/12 = 5/4 = 1,25
Probe:
I: 4b - 7 = a
4·1,25 - 7 = -2
5 - 7 = -2
-2 = -2 OK
II: -12b - 23a = 31
-12·1,25 - 23·(-2) = 31
-15 + 46 = 31
31 = 31 OK
| |
-6/7·p + 2q = -1 | |
| p = 3q - 7/2 |
Gleichsetzungsverfahren
Auflösen nach p
I: -6/7·p + 2q = -1 | -2q
-6/7·p = -2q - 1 | ·(-7/6)
I': p = 14/6·q + 7/6
II: p = 3q - 7/2
I' = II: 14/6·q + 7/6 = 3q - 7/2 | ·6
14q + 7 = 18q - 21 | -14q +21
28 = 4q | :4
7 = q
in II: p = 3q - 7/2 = 3·7 - 3,5 = 17,5
Auflösen nach q
I: -6/7·p + 2q = -1 | +6/7·p
2q = 6/7·p - 1 | :2
I': q = 6/14·p - 1/2
II: p = 3q - 7/2 | +7/2
p + 7/2 = 3q | :3
II': 1/3·p + 7/6 = q
I' = II':
6/14·p - 1/2 = 1/3·p + 7/6 | ·42 (das ist der kgV aller Nenner)
18p - 21 = 14p + 49 | -14p +21
4p = 70 | :4
p = 17,5
in II': q = 1/3·p + 7/6 = 1/3·35/2 + 7/6 = 35/6 + 7/6 = 42/6 = 7
Einsetzungsverfahren
Erste Gleichung nach p auflösen
I: -6/7·p + 2q = -1 | -2q
-6/7·p = -2q - 1 | ·(-7/6)
I': p = 14/6·q + 7/6
in II: 14/6·q + 7/6 = 3q - 7/2 | ·6
14q + 7 = 18q - 21
14q + 7 = 18q - 21 | -14q +21
28 = 4q | :4
7 = q
in II: p = 3q - 7/2 = 3·7 - 3,5 = 17,5
Erste Gleichung nach q auflösen
I: -6/7·p + 2q = -1 | +6/7·p
2q = 6/7·p - 1 | :2
I': q = 6/14·p - 1/2
in II: p = 3(6/14·p - 1/2) - 7/2
p = 18/14·p - 3/2 - 7/2 | -18/14·p
-4/14p = -5 | ·(-14/4)
p = 70/4 = 17,5
in I': q = 6/14·p - 1/2 = q = 6/14·35/2 - 1/2 = 105/14 - 34/14 = 91/14 = 7
Zweite Gleichung nach p auflösen
II: p = 3q - 7/2 liegt passend vor!!!
in I: -6/7·(3q - 7/2) + 2q = -1
-18/7·q + 3 + 14/7·q = -1 | -3
-4/7·q = -4 | ·(-7/4)
q = 7
in II: p = 3·7 - 7/2 = 17,5
Zweite Gleichung nach q auflösen
II: p = 3q - 7/2 | +7/2
p + 7/2 = 3q | :3
II': 1/3·p + 7/6 = q
in I: -6/7·p + 2·(1/3·p + 7/6) = -1
-6/7·p + 2/3·p + 7/3 = -1 | ·21 (kgV von 7 und 3)
-18p + 14p + 49 = -21 | -49
-4p = -70 | :(-4)
p = 17,5
in II': q = 1/3·p + 7/6 = 1/3·35/2 + 7/6 = 35/6 + 7/6 = 42/6 = 7
Probe:
I: -6/7·p + 2q = -1
-6/7·35/2 + 2·7 = -1
-3·5 + 2·7 = -1
-15 + 14 = -1
-1 = -1 OK
II: p = 3q - 7/2
17,5 = 3·7 - 3,5
17,5 = 21 - 3,5
17,5 = 17,5 OK
© Arndt Brünner, 3. 10. 2003
eMail: arndt.bruenner@t-online.de
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Version: 5. 10. 2003