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Dürers Winkeldreiteilung
Würfelverdoppelung

Dürers Muschellini und weitere Kurven

Studieren Sie hier Albrecht Dürers berühmte Muschellinie. Die drei in der interaktiven Graphik markierten Punkte lassen sich verschieben, womit man die Kurve verändern kann. Auch kann man wie üblich alles komplett verschieben und zoomen.

Beschriftung

Kurve

Enveloppe

 

 

Aber ich will ein lini zyehen / die in mancherley sachen zů brauchen ist / die mach ich also / Ich reiß eyn lini uber zwerch / der anfang sey .a. und end .b. und heb nach dem .a. an zů zelen / und setz auf diser lini .16. punckten in gleicher weiten nach eynander / doch das zwischen dem end .b. und dem punckten .16. ein trum ungeferlich über bleibt / Darnach setz ich ein aufrechte lini auf die zwerchlini .a.b. in den punckten .13. so lang die zwerchlini .a.16. ist / und puncktir sie auch mit disen zalen / und zel von unden jch uber sich / Darnach nym ein richtscheydt und stich darauf die leng a.b. und setz das mit dem end / auf die zwerch lini .a.b. in den punckten .1. und leg es in der aufrechten lini in den punckten .1. unnd wo das ander end des richtscheitz hyn trift / da setz ich auch ein puncktenn .1. Darnach leg ich das richtscheyd mit dem ein end auf der zwerch lini .a.b. in den punckten .2. und erhebs an der aufrechten lini in den punckten .2. wo dann das ander end des richtscheitz hintrift / dahyn setz ich auch ein punckten .2. Also thů ich jm durch die ganzen zal der zwerch und aufrechten lini / biß das ich im durchschliefen zů 16 zaln kom / Darnach zeůch ich dise muschellini vonn punckt zu punckt / wie ich dann hie unden hab aufgeryssen / dise lini ist in mancherley weis zů verkeren.

 


 

Drei weitere Kurven aus Dürers Unterweisung der Messung

Zeichne eine waagerechte Strecke BD und eine dazu senkrechte BA. Unterteile gleichmäßig. Der i. Stützpunkt einer Grundkurve (grün) hat vom i. Punkt auf der y-Achse stets den Abstand |BD| (graue Speichen) und vom (i-1). Punkt den Abstand k.

Eine zweite Kurve entsteht durch eine durch das linke Schema erzeugte ungleiche Unterteilung der grauen Strecken.

Wohl um zu vermeiden, daß die Kurven die vertikale Achse AB schneiden, kürzt Dürer diese so, daß keine Speiche nach links verläuft.

Beschriftung

Kurve

Faktor für Kurvenabschnitte:
k =

 

ander krumme lini
  Unterteilung zeigen

 

Die letzte Kurve ist eine Modifikation der vorherigen Grundkurve. Zeichne wieder eine waagerechte Strecke BD und eine dazu senkrechte BA. Unterteile BD gleichmäßig, AB aber mit nach oben hin abnehmenden Abständen. Diese Unterteilung wird mit dem linken Schema erzeugt. Sonst ist das Prinzip wie oben, d.h. die Speichen sind gleichlang, die Kurvenstützpunkte haben voneinander immer die gleiche Entfernung k.

Beschriftung

Kurve

Faktor für Kurvenabschnitte:
k =

 

Anmerkungen

Bei Dürer entspricht die Länge der Unterteilungsskala auf der schrägen Strecke im Dreieck genau der Länge AB, hier sind beide Strecken unabhängig voneinander frei einstellbar, die Unterteilung wird proportional übertragen.

Die Kurven werden nur bei der Muschellini nach expliziter Formel gezeichnet; in den übrigen Fällen werden sie kubisch über 4 Punkte interpoliert (an den Rändern quadratisch über 3 Punkte), weil ich keine explizite Kurvendarstellung gefunden habe. (Ich habe auch nicht danach gesucht, weil ich vermute, daß sie zu kompliziert wären oder gar nicht gefunden werden können. Wer eine explizite Darstellung gefunden hat, kann sie mir gerne mitteilen.) Diese Kurveninterpolation sorgt im allgemeinen für gute Resultat, falls die Krümmung nicht zu groß wird. Schaltet man die Option Kurven aus, werden jeweils Streckenzüge gezeichnet.

© Arndt Brünner, 20. 6. 2021